הוכחות מתמטיות/שונות/e מספר אי-רציונלי

הקבוע המתמטי $e=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=2.718281\ldots$ הוא מספר אי-רציונלי. כלומר לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים.

הוכחה

נניח בשלילה כי $e$ רציונלי, כלומר קיימים $a,b\in \mathbb {N}$ עבורם $e={\frac {a}{b}}$.
נגדיר את המספר

$N=b!\left(e-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=a\,(b-1)!-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\frac {b!}{n!}}$

זהו מספר טבעי, משום שמתקיים $n\leq b$ ולכן כל שבר בסכום הוא מספר טבעי.

לפיכך ניתן לכתוב:

${\begin{aligned}N=b!\left(\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\frac {1}{n!}}\right)=\!\sum _{n\,=\,b+1}^{\infty }\!{\frac {b!}{n!}}&={\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \\&={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots \\&<{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots \\&=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n}}}={\frac {\frac {1}{b\,+\,1}}{1-{\frac {1}{b\,+\,1}}}}={\frac {1}{b}}<1\end{aligned}}$

הביטוי האחרון הוא טור הנדסי אינסופי שמנתו ${\frac {1}{b+1}}<1$. לכן $0<N<1$. סתירה.