הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי
מראה
לכל קיים עבורו .
הוכחה
[עריכה]נגדיר קבוצה .
זו קבוצה לא־ריקה (כי ) וחסומה מלמעלה על־ידי (כי לכל מתקיים ).
לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון . כעת נוכיח כי .
- נניח בשלילה כי .
- מתקיים . נגדיר ממוצע חשבוני . לכן .
- על־פי אי־שוויון הממוצעים מתקיים . מזה נקבל .
- לכן . אבל אף שהנחנו כי חסם עליון. סתירה!
- נניח בשלילה כי .
- מתקיים . לכן .
- כ.נ.ל מתקיים . מההגדרה לכל מתקיים .
- לכן . כלומר חסם מלמעלה של , אף שהנחנו כי חסם עליון. סתירה!
לכן .