הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

לכל קיים עבורו .

הוכחה[עריכה]

נגדיר קבוצה .

זו קבוצה לא־ריקה (כי ) וחסומה מלמעלה על־ידי (כי לכל מתקיים ).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון . כעת נוכיח כי .

  • נניח בשלילה כי .
מתקיים . נגדיר ממוצע חשבוני . לכן .
על־פי אי־שוויון הממוצעים מתקיים . מזה נקבל .
לכן . אבל אף שהנחנו כי חסם עליון. סתירה!
  • נניח בשלילה כי .
מתקיים . לכן .
כ.נ.ל מתקיים . מההגדרה לכל מתקיים .
לכן . כלומר חסם מלמעלה של , אף שהנחנו כי חסם עליון. סתירה!

לכן .