הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר אי-רציונלי

הקבוע המתמטי $\pi =3.141592\ldots$ (היחס בין היקף מעגל וקוטרו) הוא מספר אי-רציונלי. כלומר לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים.

הוכחה

נניח בשלילה כי $\pi$ רציונלי, כלומר קיימים $a,b\in \mathbb {N}$ עבורם $\pi ={\frac {a}{b}}$.
לכל $n\in \mathbb {N}$ נגדיר פולינום

$f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}=\sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {c_{m}}{n!}}x^{m},\quad :c_{m}\in \mathbb {Z}$

מתקיים $f(x)=f(\pi -x)$ ולכן

${\begin{aligned}f^{(k)}\!(x)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi -x)&={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle \sum _{m\,=\,k}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\\[5pt]f^{(k)}\!(0)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi )&={\begin{cases}0&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle {\frac {k!}{n!}}c_{k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\end{aligned}}$

עתה נגדיר $A_{n}=\int \limits _{0}^{\pi }f(x)\sin(x)dx$. האינטגרנד חיובי בקטע הפתוח $(0,\pi )$ ומתאפס רק בקצוות, ולכן מתקיים $A_{n}>0$.
שימוש חוזר באינטגרציה בחלקים מאפשר לנו להסיק כי

$A_{n}=-f^{(0)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+f^{(1)}\!(x)\sin(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+f^{(2)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }-\cdots \pm f^{(2n)}\!(x)\cos(x){\bigg |}_{0}^{\pi }\mp \int \limits _{0}^{\pi }f^{(2n+1)}\!(x)\cos(x)dx$

האינטגרל האחרון מתאפס מפני שהביטוי $f^{(2n+1)}\!(x)$ הוא פולינום האפס, שכן $\deg(f)=2n$.
מכיוון שלכל $0\leq k\leq 2n$ הפונקציות $f^{(k)}\!(x),\sin(x),\cos(x)$ מקבלות ערכים שלמים בקצות הקטע, אזי $A_{n}$ מספר שלם.

מאידך, בקטע הפתוח מתקיים

${\begin{aligned}&0<x<\pi \\&0<a-bx<a\\&0<\sin(x)<1\end{aligned}}$

ולכן $0<A_{n}<\pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}$. אך עבור $n$ גדול מספיק מתקיים $0<A_{n}<1$. סתירה.