הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר אי-רציונלי

הקבוע המתמטי $\pi =3.141592\ldots$ (היחס בין היקף מעגל וקוטרו) הוא מספר אי־רציונלי. לאמר, לא ניתן לבטאו כמנת שני מספרים שלמים.

הוכחה

נניח בשלילה כי $\pi$ רציונלי, כלומר קיימים $a,b\in \mathbb {N}$ עבורם $\pi ={\frac {a}{b}}$.
לכל $n\in \mathbb {N}$ נגדיר פולינום

$f(x)={\frac {x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}}=\sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {c_{m}}{n!}}x^{m},\quad :c_{m}\in \mathbb {Z}$

מתקיים $f(x)=f(\pi -x)$ ולכן

${\begin{aligned}f^{(k)}\!(x)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi -x)&={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m\,=\,n}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle \sum _{m\,=\,k}^{2n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {m}{k}}c_{m}x^{m-k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\\[5pt]f^{(k)}\!(0)=(-1)^{k}f^{(k)}\!(\pi )&={\begin{cases}0&:0\leq k\leq n-1\\[5pt]\displaystyle {\frac {k!}{n!}}c_{k}&:n\leq k\leq 2n\end{cases}}\end{aligned}}$

עתה נגדיר $N=\int \limits _{0}^{\pi }\sin(x)f(x)dx$. האינטגרנד חיובי בקטע הפתוח $(0,\pi )$ ומתאפס רק בקצוות, ולכן מתקיים $N>0$.
שימוש חוזר באינטגרציה בחלקים מאפשר לנו להסיק כי

$N=-\cos(x)f^{(0)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+\sin(x)f^{(1)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }+\cos(x)f^{(2)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }-\cdots \pm \cos(x)f^{(2n)}\!(x){\bigg |}_{0}^{\pi }\mp \int \limits _{0}^{\pi }\cos(x)f^{(2n+1)}\!(x)dx$

האינטגרל האחרון מתאפס מפני שהביטוי $f^{(2n+1)}\!(x)$ הוא פולינום האפס, שכן $\deg(f)=2n$.
לכל $0\leq k\leq 2n$ הפונקציות $f^{(k)}\!(x),\sin(x),\cos(x)$ מקבלות ערכים שלמים בקצות הקטע. לכן $1\leq N\in \mathbb {N}$.

מאידך, בקטע הפתוח מתקיים

${\begin{aligned}&0<x<\pi \\&0<a-bx<a\\&0<\sin(x)<1\end{aligned}}$

על־פי אי־שוויון המשולש האינטגרלי מתקיים

$1\leq N=\int \limits _{0}^{\pi }\sin(x)f(x)dx\leq \int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}dx=\pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}$

אך $\lim _{n\to \infty }\pi {\frac {(\pi a)^{n}}{n!}}=0$, לאמר עבור $n$ גדול מספיק מתקיים $1\leq N<1$. סתירה.

$\square$

מסקנה: $\pi$ מספר אי־רציונלי.

$\blacksquare$