אם
היא תורה עקבית, אזי קיימת קבוצת אקסיומות
כך ש-
ו-
תורה שלמה.
נגדיר
כקבוצת כל הנוסחאות הסגורות בשפה
.
נגדיר
.
לא ריקה, כי
עקבית ולכן
.
היא מטיפוס סופי. זאת מפני שהיסקים הם סופיים, כלומר מסתמכים על קבוצה סופית של אקסיומות, ולכן מקבוצה ניתן להסיק סתירה אם ורק אם מכל תת-קבוצה סופית שלה ניתן להסיק סתירה.
מלמת טייכמילר-טיוקי, שמופיעה מטה, קיים איבר מקסימלי
.
נגדיר
.
עקבית מתוך הגדרת
, נוכיח כי היא גם שלמה.
תהי נוסחה סגורה
.
נראה כי
או
.
אם
סיימנו, כעת נניח כי
.
נניח בשלילה
, אזי
אינה עקבית מתוך מקסימליות
, כלומר, ניתן להסיק בה סתירה:
.
לפי משפט הדדוקציה:
, אך זוהי גרירה טאוטולוגית של
בסתירה להנחה.
כלומר
, וממילא
כנדרש.
למת טייכמילר-טיוקי
[עריכה]
נניח ש-
קבוצה, ו-
אוסף תת-קבוצות של
.
תיקרא מטיפוס סופי אם מתקיים
אם ורק אם כל תת-קבוצה סופית
מקיימת
.
למת טייכמילר-טיוקי
[עריכה]
אם
לא ריקה מטיפוס סופי, אזי יש
איבר מקסימלי.
כלומר, קיים
, כך שאם
אז
.
הערה: כדי להוכיח למה זו אנו זקוקים לאקסיומת הבחירה.