הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נוסחת לייבניץ לנגזרות מסדר גבוה

משפט

אם $f, g$ פונקציות גזירות $n$ פעמים, אזי: $(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k)}$ כאשר $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ המקדם הבינומי.

הוכחה

באינדוקציה מתמטית על $n$ . המקרה $n = 1$ ניתן לאימות בקלות:

(f \cdot g)^{(1)} = \sum_{k = 0}^{1} (\binom{1}{k}) f^{(1 - k)} g^{(k)} = (\binom{1}{0}) f^{'} g + (\binom{1}{1}) f g^{'} = f^{'} g + f g^{'}

נניח כי הטענה נכונה עבור $n$ , כלומר $(f \cdot g)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k)}$ , ונוכיח נכונות עבור $n + 1$ , כלומר $(f \cdot g)^{(n + 1)} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)}$

נשתמש בהנחת האינדוקציה וכן בכלל לנגזרת מכפלה הרגיל.

(f \cdot g)^{(n + 1)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (f^{(n - k)} g^{(k)})^{'} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k + 1)}

כעת, נשנה באופן סימבולי את הסכימה באופן הבא:

\begin{matrix} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n - k)} g^{(k + 1)} = \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n}{k - 1}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} \\ (f \cdot g)^{(n + 1)} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + \sum_{k = 1}^{n + 1} (\binom{n}{k - 1}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} \end{matrix}

נחלץ את האבר הראשון מהסכימה הראשונה ואת האבר האחרון מהסכימה השניה ונקבל:

(f \cdot g)^{(n + 1)} = f^{(n + 1)} g + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + f g^{(n + 1)}

את הסכימות נאחד באופן הבא:

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} = \sum_{k = 1}^{n} [((\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1})) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)}]

נחשב את סכום מקדמי הבינום הנ"ל:

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} + \frac{n!}{(k - 1)! (n + 1 - k)!} = \frac{(n + 1)!}{k! (n + 1 - k)!} = (\binom{n + 1}{k})

קיבלנו:

\begin{matrix} (f \cdot g)^{(n + 1)} & = f^{(n + 1)} g + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} + f g^{(n + 1)} \\ = \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k}) f^{(n + 1 - k)} g^{(k)} \end{matrix}