לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נוסחת לייבניץ לנגזרות מסדר גבוה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

אם פונקציות גזירות פעמים, אזי: כאשר המקדם הבינומי.

הוכחה

באינדוקציה מתמטית על . המקרה ניתן לאימות בקלות:

נניח כי הטענה נכונה עבור , כלומר , ונוכיח נכונות עבור , כלומר

נשתמש בהנחת האינדוקציה וכן בכלל לנגזרת מכפלה הרגיל.

כעת, נשנה באופן סימבולי את הסכימה באופן הבא:

נחלץ את האבר הראשון מהסכימה הראשונה ואת האבר האחרון מהסכימה השניה ונקבל:

את הסכימות נאחד באופן הבא:

נחשב את סכום מקדמי הבינום הנ"ל:

קיבלנו: