לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של מכפלת פונקציות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

אם הפונקציות גזירות, אזי .

הוכחה ישירות מהגדרת הנגזרת[עריכה]

המעבר הוא מפני ש־ רציפה ב־ (גזירות בנקודה גוררת רציפות בה).

הוכחה דרך גזירה לוגריתמית[עריכה]

נסמן . אזי מתקיים:

נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל:

הערה: במבט ראשון, הוכחה זו עלולה להידמות כבעלת הגיון מעגלי אבל למעשה נוסחת כלל השרשרת ונגזרת הלוגריתם הטבעי ניתנות להוכחה באופן עצמאי לחלוטין, ללא שימוש בכלל למכפלת נגזרות.