הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של מכפלת פונקציה בקבוע

משפט

אם $f(x)$ גזירה אזי ${\frac {d}{dx}}{\bigl (}c\cdot f(x){\bigr )}=c\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)$ .

הוכחה

נוכיח ישירות מהגדרת הנגזרת:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\big (}c\cdot f(x){\big )}&=\lim _{h\to 0}{\frac {c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}c\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}c\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=c\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=c\cdot {\frac {d}{dx}}f(x)\end{aligned}}$$