הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת הפונקציה ההפוכה

משפט

אם $f$ הפיכה וגזירה בנקודה $x_{0}$ ומתקיים $f'(x_{0})\neq 0$ , אזי הפונקציה ההפוכה $f^{-1}$ גזירה בנקודה $y_{0}=f(x_{0})$ ונגזרתה היא $f^{-1'}(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}$ .

הוכחה

נשתמש בכלל השרשרת על הפונקציה $g(x)=f{\bigl (}f^{-1}(x){\bigr )}$ כדי למצוא את נגזרתה בנקודה $y_{0}$ ונקבל $g'(y_{0})=f'{\bigl (}f^{-1}(y_{0}){\bigr )}\cdot f^{-1'}(y_{0})$ .

אבל $f{\bigl (}f^{-1}(x){\bigr )}=x$ ולכן $g'(y_{0})=1$ . כמו־כן $f^{-1}(y_{0})=x_{0}$ . לפיכך נקבל $1=f'(x_{0})\cdot f^{-1'}(y_{0})$ .

נחלק ב־$f'(x_{0})$ ונקבל $f^{-1'}(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}$ .

$\blacksquare$