גבול של סכום סדרות[עריכה]
- משפט
תהיינה
סדרות המקיימות
כשהגבולות סופיים.
אזי
.
- הוכחה
עלינו להוכיח כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
קיים
כך שלכל
מתקיים
.
נסמן
. כעת לכל
מתקיים לפי אי־שוויון המשולש:

הערות להוכחה:
- בהוכחה זו, הכל היה נתון לנו בצורה מתמטית. פעמים רבות ניתקל בהוכחות המנוסחות בצורה מילולית, ויהא עלינו לכתוב אותן בצורה מתמטית.
- הערה נוספת בהקשר זה: כשכל הנתונים מוצגים בצורה מתמטית, עלינו לוודא שאנו מבינים היטב את משמעותם. למשל, במקרה זה כתוב בעצם
- "נתונות הסדרות
המתכנסות לגבולות
בהתאמה". חשוב להבין את הנתון גם מבחינה רעיונית.
גבול של מכפלת סדרות[עריכה]
- משפט
תהיינה
סדרות המקיימות
כשהגבולות סופיים.
אזי
- הוכחה
יהי
. עלינו להוכיח כי לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים
.

מתכנסת ולכן חסומה, לכן קיים
כלשהו כך שלכל
מתקיימים בו זמנית המקרים
וגם
.
קיים
כך שלכל
שמתקיים
.
קיים
כך שלכל
שמתקיים
.
נסמן
. לפיכך,
