משפט הממדים לתתי-מרחבים[עריכה]
אם
הנם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי
, אזי מתקיים

- הוכחה
נסמן

ונוכיח כי
.
יהי
בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, אברי הבסיס הם בלתי-תלויים לינארית הן ב-
והן ב-
.
נשלים קבוצה זו לבסיסים של
ושל
בהתאמה:
נסמן ב-
את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האברים ב-
הוא
. לכן נותר רק להוכיח כי
היא בסיס למרחב הסכום.
מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי
קבוצה פורשת ובלתי-תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת.
אברים בתת-המרחב
הם כולם מהצורה
, כאשר
, מעצם הגדרת מרחב הסכום.
הוא צירוף לינארי של
שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור
.
הוא צירוף לינארי של
שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור
.
לפיכך,
הוא צירוף לינארי של אברי
. לכן
קבוצה פורשת.
כעת נוכיח כי
בלתי-תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה
הוא
.
לאחר העברת אגפים נקבל כי:
האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של
, לכן הוא שייך ל-
.
האגף הימני הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של
ולכן הוא שייך ל-
.
לכן כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך
. לכן ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של אברי הבסיס של החיתוך.
נעביר אגפים ונקבל:
קיבלנו צירוף לינארי של אברי הבסיס של
ומכיון שאברי בסיס הם בלתי-תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי
.
נציב זאת לצירוף הלינארי של אברי
אשר התחלנו ממנו ונקבל:
זהו צירוף לינארי של אברי הבסיס של
, לכן
.