לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים, בסיס וממד

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

משפט הממדים לתתי-מרחבים[עריכה]

אם הנם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי , אזי מתקיים


הוכחה

נסמן

ונוכיח כי .


יהי בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, אברי הבסיס הם בלתי-תלויים לינארית הן ב- והן ב- .

נשלים קבוצה זו לבסיסים של ושל בהתאמה:

נסמן ב- את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האברים ב- הוא . לכן נותר רק להוכיח כי היא בסיס למרחב הסכום.

מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי קבוצה פורשת ובלתי-תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת.

אברים בתת-המרחב הם כולם מהצורה , כאשר , מעצם הגדרת מרחב הסכום.

הוא צירוף לינארי של שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור .

הוא צירוף לינארי של שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור .

לפיכך, הוא צירוף לינארי של אברי . לכן קבוצה פורשת.

כעת נוכיח כי בלתי-תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה

הוא .


לאחר העברת אגפים נקבל כי:

האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של , לכן הוא שייך ל- .

האגף הימני הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של ולכן הוא שייך ל- .

לכן כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך . לכן ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של אברי הבסיס של החיתוך.

נעביר אגפים ונקבל:

קיבלנו צירוף לינארי של אברי הבסיס של ומכיון שאברי בסיס הם בלתי-תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי .

נציב זאת לצירוף הלינארי של אברי אשר התחלנו ממנו ונקבל:

זהו צירוף לינארי של אברי הבסיס של , לכן .