הוכחות מתמטיות/אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים, בסיס וממד

משפט הממדים לתתי-מרחבים

אם $U,W$ הנם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי $V$ , אזי מתקיים

$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$

הוכחה

נסמן

$m=\dim(U),n=\dim(W),k=\dim(U\cap W)$

ונוכיח כי $\dim(U+W)=m+n-k$ .

יהי $\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, אברי הבסיס הם בלתי-תלויים לינארית הן ב-$U$ והן ב-$W$ .

נשלים קבוצה זו לבסיסים של $U$ ושל $W$ בהתאמה:

${\begin{aligned}{\Big \{}v_{1},\ldots ,v_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{m}{\Big \}}\\{\Big \{}v_{1},\ldots ,v_{k},w_{k+1},\ldots ,w_{n}{\Big \}}\end{aligned}}$

נסמן ב-$B$ את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האברים ב-$B$ הוא $k+(m-k)+(n-k)=m+n-k$ . לכן נותר רק להוכיח כי $B$ היא בסיס למרחב הסכום.

מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי $B$ קבוצה פורשת ובלתי-תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת.

אברים בתת-המרחב $U+W$ הם כולם מהצורה $u+w$ , כאשר $u\in U,w\in W$ , מעצם הגדרת מרחב הסכום.

$u$ הוא צירוף לינארי של $v_{1},\ldots ,v_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{m}$ שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור $U$ .

$w$ הוא צירוף לינארי של $v_{1},\ldots ,v_{k},w_{k+1},\ldots ,w_{n}$ שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור $W$ .

לפיכך, $u+w$ הוא צירוף לינארי של אברי $B$ . לכן $B$ קבוצה פורשת.

כעת נוכיח כי $B$ בלתי-תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה

$\alpha _{1}v_{1}+\cdots +\alpha _{k}v_{k}+\beta _{k+1}u_{k+1}+\cdots +\beta _{m}u_{m}+\gamma _{k+1}w_{k+1}+\cdots +\gamma _{n}w_{n}=0$

הוא $\forall i:\alpha _{i}=\beta _{i}=\gamma _{i}=0$ .

לאחר העברת אגפים נקבל כי:

$\alpha _{1}v_{1}+\cdots +\alpha _{k}v_{k}+\beta _{k+1}u_{k+1}+\cdots +\beta _{m}u_{m}=-\gamma _{k+1}w_{k+1}-\cdots -\gamma _{n}w_{n}$

האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של $U$ , לכן הוא שייך ל-$U$ .

האגף הימני הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של $W$ ולכן הוא שייך ל-$W$ .

לכן כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך $U\cap W$ . לכן ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של אברי הבסיס של החיתוך.

$-\gamma _{k+1}w_{k+1}-\cdots -\gamma _{n}w_{n}=\delta _{1}v_{1}+\cdots +\delta _{k}v_{k}$

נעביר אגפים ונקבל:

$\delta _{1}v_{1}+\cdots +\delta _{k}v_{k}+\gamma _{k+1}w_{k+1}+\cdots +\gamma _{n}w_{n}=0$

קיבלנו צירוף לינארי של אברי הבסיס של $W$ ומכיון שאברי בסיס הם בלתי-תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי $\forall i:\delta _{i}=\gamma _{i}=0$ .

נציב זאת לצירוף הלינארי של אברי $B$ אשר התחלנו ממנו ונקבל:

$\alpha _{1}v_{1}+\cdots +\alpha _{k}v_{k}+\beta _{k+1}u_{k+1}+\cdots +\beta _{n}u_{n}=0$

זהו צירוף לינארי של אברי הבסיס של $U$ , לכן $\forall i:\alpha _{i}=\beta _{i}=\gamma _{i}=0$ .

$\blacksquare$