גבול של פונקציה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


גבול של פונקציה בנקודה[עריכה]

הגדרה: גבול של פונקציה בנקודה לפי קושי

תהי פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של , נאמר שהגבול של הפונקציה כאשר שואף ל הוא , אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , ונסמן .


דוגמא: נוכיח שמתקיים , כאשר . יהי , נבחר , לכן כאשר מתקיים , ולכן מתקיים .

הגדרת הגבול לפי היינה[עריכה]

הגדרה: הגדרת הגבול לפי היינה

תהי פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של , אז אם לכל סדרה המקיימת , ולכל , , מתקיים .



משפט: הגדרת הגבול לפי היינה שקולה להגדרת הגבול לפי קושי הוכחה: נוכיח את הכיוון הראשון, נניח שמתקיים , וגם שמתקיים לסדרה(כללית) , , ולכל גם . לפי הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי, לכל קיים כך שלכל מתקיים , ולפי ההנחה שמתקיים , לכל קיים כך שלכל מתקיים , לכן קיים כך שלכל מתקיים , אבל אז לפי הגדרת הגבול של קושי מתקיים לכל גם , ולכן . בכיוון השני, נניח שמתקיימת הגדרת הגבול לפי היינה, כלומר לכל סדרה המקיימת , ולכל , , מתקיים , ונניח בשלילה שמתקיים , לכן לכל קיים וקיים כך שמתקיים אבל , וכיוון שזה נכון לכל , זה בהכרח נכון ל, לכן לכל קיים כך שמתקיים , אבל , לכן קיבלנו סדרה של ערכים, , כיוון שמתקיים לכל האי שוויון , ושני הצדדים שואפים ל, נקבל לפי משפט הסנדוויץ שמתקיים גם , אבל אז לפי ההנחה שלנו(היינה) מתקיים גם , וזאת בסתירה לכך שהנחנו שלכל מתקיים .

מש"ל.PNG

{{{תוכן}}}

}}



משפט: יחידות הגבול, אם וגם אז בהכרח .

הוכחה:

נניח שמתקיים וגם , אבל , ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים , נבחר , אז קיימת

כך שלכל מתקיים , וגם קיימת כך שלכל מתקיים אבל

כיוון שמתקיים , מתקיים גם , ולכן נקבל שמתקיים בסתירה, ולכן .

מש"ל.PNG


אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה[עריכה]

משפט: אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה

תהיו פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של , כך שמתקיים , אז מתקיים:

  • .
  • .
  • אם מתקיים אז
  • .


הוכחה: תחילה, אם מוגדרת בסביבת של , ו מוגדרת בסביבת של , אז וגם מוגדרת בסביבת של .


  • נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן , אזי לכל סדרה שמקיימת מתקיים גם , ולכל סדרה שמקיימת מתקיים גם , לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות:

, ולכן .


  • נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן , אזי לכל סדרה שמקיימת מתקיים גם , ולכל סדרה שמקיימת מתקיים גם , לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות:

, ולכן .


  • נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן , אזי לכל סדרה שמקיימת מתקיים גם , ולכל סדרה שמקיימת מתקיים גם , לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות:

, ולכן .


  • לפי כלל הסכום שהוכחנו, וכלל הכפל, נוכל לכתוב , ונקבל מיידית את המבוקש.



מש"ל.PNG


משפטי גבולות[עריכה]

משפט: משפטי גבולות

תהיו פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של , ונניח שהגבולות קיימים, אז:

  1. אם קיימת סביבה נקובה של שבה מתקיים , אז מתקיים .
  2. אם מתקיים אז קיימת סביבה נקובה של שבה מתקיים .
  3. משפט הסנדוויץ' לפונקציות, תהיו פונקציות, ונניח שהגבולות קיימים ושווים זה לזה, וגם קיימת סביבה מנוקבת של שבה מתקיים , אז קיים גם הגבול , ומתקיים .


הוכחה: 1. נניח שקיימת סביבה נקובה של שבה מתקיים , נקרא לה , ונסמן , ונניח בשלילה שקיימת סביבה נקובה שבה מתקיים , נסמן אותה .

לפי הגדרת הגבול, קיים כך שלכל מתקיים , וגם קיים כך שלכל מתקיים , נבחר , ולכן מתקיימים כל התנאים, אבל גם מתקיים ,

ומטרנזיטיביות היחס נקבל שמתקיים , בסתירה לכך שבסביבה שבחרנו מתקיים , קיבלנו סתירה ולכן בהכרח מתקיים .

(1) כיוון שהנחנו שמתקיים , כלומר .


2. נניח שמתקיים , לכן לפי הגדרת הגבול קיים כך שלכל מתקיים , וגם קיים

כך שלכל , מתקיים , נבחר , לכן מתקיימים שני התנאים, ומתקיים , ומטרנזיטיביות היחס נקבל שמתקיים

(1) כיוון שהנחנו שמתקיים , כלומר .


3. נסמן , נשתמש בהגדרת היינה לגבול של פונקציה בנקודה. תהי סדרה המקיימת , לכן לפי ההנחה מתקיים , ולפי ההנחה שלנו, קיים כך שלכל מתקיים , ולכן לפי משפט הסנדוויץ' לסדרות, מתקייים , ולכן לפי הגדרת היינה מתקיים .



מש"ל.PNG



גבולות חד-צדדיים[עריכה]

הגדרה: גבולות חד-צדדיים של פונקציה

תהי פונקציה נאמר ש הוא הגבול מימין של ב, ונסמן , אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , ונאמר ש הוא הגבול משמאל של ב, ונסמן , אם לכל קיים כך שלכל מתקיים

.


הגדרה: הגדרת הגבולות החד-צדדיים לפי היינה

עבור פונקציה שמוגדרת בסביבה הימנית של , נאמר שמתקיים אם ורק אם לכל סדרה המקיימת וגם לכל , אז , ונאמר שמתקיים אם ורק אם לכל סדרה המקיימת וגם לכל , אז .



משפט: תהי פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , אז מתקיים אם ורק אם הגבולות הח-צדדיים שלה קיימים ושווים, כלומר

הוכחה:

תהי פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , נוכיח תחילה את הכיוון הראשון.

נניח שהגבולות החד=צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר .

יהי , לכן לפי ההנחה שקיים הגבול הימני, קיים כך שלכל מתקיים , ולפי ההנחה שקיים הגבול השמאלי, קיים כך שלכל מתקיים , נבחר , לכן לכל מתקיים , וזו בדיוק הגדרת הגבול לפי קושי, לכן .


בכיוון השני, נניח שמתקיים , ונוכיח שהגבולות החד-צדדיים קיימים גם הם, ושווים זה לזה.

לפי ההנחה שמתקיים , לכל קיים כך שלכל מתקיים , אבל כיוון שזה מתקיים לכל , זה בוודאי יתקיים גם לכל , וגם לכל , וזו הגדרת הגבול החד-צדדי של פונקציה בנקודה, ולכן הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר . .


גבול אינסופי בנקודה[עריכה]

הגדרה: גבול אינסופי של פונקציה בנקודה

תהי פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של , נאמר שהפונקציה שואפת לאינסוף כאשר איקס שואף ל, אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , ונאמר שהפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר איקס שואף ל, אם לכל קיים כך שלכל מתקיים .

הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה, והיא זהה לאחת שהגדרתי מקודם.


דוגמא: נוכיח שמתקיים . יהי , נבחר , ולכל , מתקיים ,ולכן מטרנזיטיביות היחס .

1. כיוון שאנחנו מדברים על שאיפה לאינסוף נוכל לדבר על איקסים חיוביים, אם מתקיים , נוכל לבחור , ולכן לכל , מתקיים , ולכן מטרנזיטיביות היחס .


הגדרה: גבול אינסופי בנקודה לפי היינה

תהי פונקציה, אז מתקיים אם לכל סדרה המקיימת מתקיים .

הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה לפי היינה, והם זהים לאלו שהגדרתי מקודם.

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה[עריכה]

משפט: אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה

תהיו פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של , אז מתקיים:

  • אם וגם אז .
  • אם וגם אז .
  • אם וגם אז .
  • אם וגם אז .


  • אם אז .
  • אם וגם בסביבה נקובה של , אז , ואם וגם בסביבה נקובה של , אז
  • אם ורק אם .


הוכחה: הוכחת המשפט נובעת בקלות מהגדרת היינה לגבול אינסופי בנקודה, להלן: תהיו פונקציות.

  • נניח שמתקיים וגם , ותהי סדרה המקיימת , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות(שכבר הוכחנו) מתקיים , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים .
  • נניח שמתקיים וגם , תהי סדרה המקיימת וסדרה המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים .
  • נניח שמתקיים וגם , תהי סדרה המקיימת , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים .
  • נניח שמתקיים וגם , תהי סדרה המקיימת וסדרה המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים .
  • נניח שמתקיים , תהי סדרה המקיימת , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים .
  • נוכיח את המשפט למקרה שבו , בסביבה נקובה של , ההוכחה למקרה שבו בסביבה נקובה של אנלוגית לחלוטין.

נניח שמתקיים , תהי סדרה המקיימת , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים .

  • בכיוון הראשון נניח שמתקיים , לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים , לכן לכל , נבחר , וכיוון שמתקיים , כלומר , אזי ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים .

בכיוון השני נניח שמתקיים , לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים , לכן לכל , נבחר , וכיוון שמתקיים , כלומר , אזי ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים .


גבול סופי באינסוף, וגבול אינסופי באינסוף[עריכה]

הגדרה: גבול סופי באינסוף

תהי פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה , נאמר ש שואפת ל כאשר שואף ל,ונסמן אם לכל קיים כך שלכל מתקיים .


הגדרה: גבול אינסופי באינסוף

תהי פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה ,נאמר ש שואפת לאינסוף כאשר שואף לאינסוף, ונסמן אם לכל קיים כך שלכל מתקיים .