גבול של פונקציה
גבול של פונקציה בנקודה
[עריכה]
הגדרה: גבול של פונקציה בנקודה לפי קושי תהי פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של , נאמר שהגבול של הפונקציה כאשר שואף ל הוא , אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , ונסמן .
|
הגדרת הגבול לפי היינה
[עריכה]
הגדרה: הגדרת הגבול לפי היינה תהי פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של , אז אם לכל סדרה המקיימת , ולכל , , מתקיים . |
משפט: הגדרת הגבול לפי היינה שקולה להגדרת הגבול לפי קושי
הוכחה:
נוכיח את הכיוון הראשון, נניח שמתקיים , וגם שמתקיים לסדרה(כללית) , , ולכל גם .
לפי הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי, לכל קיים כך שלכל מתקיים , ולפי ההנחה שמתקיים , לכל
קיים כך שלכל מתקיים , לכן קיים כך שלכל מתקיים , אבל אז לפי הגדרת הגבול
של קושי מתקיים לכל גם , ולכן .
בכיוון השני, נניח שמתקיימת הגדרת הגבול לפי היינה, כלומר לכל סדרה המקיימת , ולכל , , מתקיים , ונניח בשלילה שמתקיים , לכן לכל קיים וקיים כך שמתקיים אבל , וכיוון שזה נכון לכל , זה בהכרח נכון ל, לכן לכל קיים כך שמתקיים ,
אבל , לכן קיבלנו סדרה של ערכים, , כיוון שמתקיים לכל האי שוויון , ושני הצדדים שואפים ל, נקבל לפי
משפט הסנדוויץ שמתקיים גם , אבל אז לפי ההנחה שלנו(היינה) מתקיים גם , וזאת בסתירה לכך שהנחנו שלכל מתקיים .
{{{תוכן}}} |
}}
משפט: יחידות הגבול, אם וגם אז בהכרח . הוכחה: נניח שמתקיים וגם , אבל , ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים , נבחר , אז קיימת כך שלכל מתקיים , וגם קיימת כך שלכל מתקיים אבל כיוון שמתקיים , מתקיים גם , ולכן נקבל שמתקיים בסתירה, ולכן .
|
אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה
[עריכה]
משפט: אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה תהיו פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של , כך שמתקיים , אז מתקיים:
, ולכן .
, ולכן .
, ולכן .
|
משפטי גבולות
[עריכה]
משפט: משפטי גבולות תהיו פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של , ונניח שהגבולות קיימים, אז:
לפי הגדרת הגבול, קיים כך שלכל מתקיים , וגם קיים כך שלכל מתקיים , נבחר , ולכן מתקיימים כל התנאים, אבל גם מתקיים , ומטרנזיטיביות היחס נקבל שמתקיים , בסתירה לכך שבסביבה שבחרנו מתקיים , קיבלנו סתירה ולכן בהכרח מתקיים . (1) כיוון שהנחנו שמתקיים , כלומר .
כך שלכל , מתקיים , נבחר , לכן מתקיימים שני התנאים, ומתקיים , ומטרנזיטיביות היחס נקבל שמתקיים (1) כיוון שהנחנו שמתקיים , כלומר .
|
גבולות חד-צדדיים
[עריכה]
הגדרה: גבולות חד-צדדיים של פונקציה תהי פונקציה נאמר ש הוא הגבול מימין של ב, ונסמן , אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , ונאמר ש הוא הגבול משמאל של ב, ונסמן , אם לכל קיים כך שלכל מתקיים |
.
הגדרה: הגדרת הגבולות החד-צדדיים לפי היינה עבור פונקציה שמוגדרת בסביבה הימנית של , נאמר שמתקיים אם ורק אם לכל סדרה המקיימת וגם לכל , אז , ונאמר שמתקיים אם ורק אם לכל סדרה המקיימת וגם לכל , אז . |
משפט: תהי פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , אז מתקיים אם ורק אם הגבולות החד-צדדיים שלה קיימים ושווים, כלומר הוכחה: תהי פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של , נוכיח תחילה את הכיוון הראשון. נניח שהגבולות החד=צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר . יהי , לכן לפי ההנחה שקיים הגבול הימני, קיים כך שלכל מתקיים , ולפי ההנחה שקיים הגבול השמאלי, קיים כך שלכל מתקיים , נבחר , לכן לכל מתקיים , וזו בדיוק הגדרת הגבול לפי קושי, לכן .
לפי ההנחה שמתקיים , לכל קיים כך שלכל מתקיים , אבל כיוון שזה מתקיים לכל , זה בוודאי יתקיים גם לכל , וגם לכל , וזו הגדרת הגבול החד-צדדי של פונקציה בנקודה, ולכן הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר . . |
גבול אינסופי בנקודה
[עריכה]
הגדרה: גבול אינסופי של פונקציה בנקודה תהי פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של , נאמר שהפונקציה שואפת לאינסוף כאשר איקס שואף ל, אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , ונאמר שהפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר איקס שואף ל, אם לכל קיים כך שלכל מתקיים . הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה, והיא זהה לאחת שהגדרתי מקודם.
דוגמא: נוכיח שמתקיים . יהי , נבחר , ולכל , מתקיים ,ולכן מטרנזיטיביות היחס . 1. כיוון שאנחנו מדברים על שאיפה לאינסוף נוכל לדבר על איקסים חיוביים, אם מתקיים , נוכל לבחור , ולכן לכל , מתקיים , ולכן מטרנזיטיביות היחס . |
הגדרה: גבול אינסופי בנקודה לפי היינה תהי פונקציה, אז מתקיים אם לכל סדרה המקיימת מתקיים . הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה לפי היינה, והם זהים לאלו שהגדרתי מקודם. |
אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה
[עריכה]
משפט: אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה תהיו פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של , אז מתקיים:
נניח שמתקיים , תהי סדרה המקיימת , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים ,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים .
בכיוון השני נניח שמתקיים , לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים , לכן לכל , נבחר , וכיוון שמתקיים , כלומר , אזי ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים . |
גבול סופי באינסוף, וגבול אינסופי באינסוף
[עריכה]
הגדרה: גבול סופי באינסוף תהי פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה , נאמר ש שואפת ל כאשר שואף ל,ונסמן אם לכל קיים כך שלכל מתקיים . |
הגדרה: גבול אינסופי באינסוף תהי פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה ,נאמר ש שואפת לאינסוף כאשר שואף לאינסוף, ונסמן אם לכל קיים כך שלכל מתקיים . |