ביוכימיה/השפעת ריכוז סובסטרט

משוואת מיכאליס מנטן

משוואת מיכאליס מנטן מתארת את הקנטיקה של האנזימים (אנזימים לא אלוסטרים). הנחת היסוד : סובסטרט נמצא בעודף.

מיכאליס מנטן

המשוואה : $V={\frac {Vmax[S]}{K_{m}+[S]}}$

מקרא :

• V - מהירות התחלתית של הראקציה.
• Vmax - המהירות המקסימלית של הראקציה.
• [S] - ריכוז סובסטרט.
• Km - קבוע מיכאליס מנטן.

• K3 – הקבוע הקטליטי של הריאקציה ומשמעותו : כמה מולקולות S יכולה מולקולה אחת של אנזים להפוך לתוצר ביחידת זמן אחת.

השפעת ריכוז הסובסטרט על פעילות הקנטית

בריכוז נמוך של סובסטרט [s]<<<[Km]

קיים יחס ישר בין הסובסטרט למהירות התגובה.
בנוסחא : $V={Vmax}*{\frac {[s]}{Km}}$
בגרף : החלק הלינארי.

בריכוז גבוה של סובסטרט

יחס ישיר בין מהירות התחלתית ל-Vmax.
בנוסחא : V=Vmax
בגרף : החלק בו m=0.

כאשר ריכוז KM שווה לריכוז סובסטרט

בנוסחא : V=Vmax/2
בעזרת מחצית מ-Vmax, ניתן למצוא את ערך KM כפי שמתואר בתמונה.

איך הגיעו למשוואת מיכאליס מנטן

אין צורך לדעת את דרך החישוב - יש לדעת מהו KM, הנחות היסוד וכדומה.

ריאקציה אנזימטית

ריאקציה של קומפלקס אנזים-סובסטראט נרשמת : $E+S{\begin{matrix}k_{1}\\\longrightarrow \\\longleftarrow \\k_{2}\end{matrix}}ES{\begin{matrix}k_{3}\\\longrightarrow \\\longleftarrow \\k_{4}\\\ \end{matrix}}E+P$

K - הקבועים

K קבוע המהירות; קובעים את מהירות הריקאציה. למשל, k₁ קובע כמה מולקולות סובסטרט יכולה מולקולה אחת של אנזים להפוך ל-ES ביחדת זמן מסויימת. במתמטיקה:

k1[E][S]

Km הקבוע הדיסוציאציה/שווי משקל של המשוואה

כאשר מערכת נמצאת בשווי משקל (תוצרים הופכים למגיבים ומגיבים לתוצרים), ניתן לקבוע את קצב התגובה (הקבוע שלה). במשוואת מיכאליס מנטן, קבוע המשוואה לעיל היא : (1) $K_{m}={\frac {k_{3}+k_{2}}{k_{1}}}$

כלומר, km מבטא את התפרקות ES למגיבים (רוב הפעמים) או לתוצרים. במילים אחרות, Km, הוא מדד לאפיניות/זיקה (כמה אוהב האנזים את הסובסטרט) בין האנזים לסובסטרט. ככל שערכי Km גבוהים יותר (כלומר, התצמיד מתפרק בקלות), כך האפיניות של האנזים אל הסובסטרט שלו נמוכה יותר. ככל שערכי Km נמוכים יותר, הזיקה בין האנזים לסובסטרט גבוהה יותר.

צוואר הבקבוק

צוואר הבקבוק הוא שלב המגביל את המערכת; שלב המונע את התרחשות התגובה או מאט אותה. בריאקציהאנזימטית, שלב ES, נקרא שלב צוואר הבקבוק, כיוון שהקומפלקס ES יכול להתפרק לסובסטרט+אנזים (רוב הפעמים) או לאנזים+תוצר (מעט מהפעמים), כלומר K₃<<<K₂.

הנחה ראשונה

בריגס והולדן הצליחו לבנות משוואה המתארת את הקניטיקה של תגובה אנזימטית. הם נעזרו במספר הנחות. הנחתם של בריגס והולדן היא שתגובה אנזימטית בלתי הפיכה, כלומר, לאחר היווצרות התוצר, לא יקרה מצב בו התוצר ישוב ויחזור להיות סובסטרט באמצעות האנזים. לכן, מתעלמים מ-k₄ ו"מוחקים" אותו. המשוואה שמתקבלת : $E+S{\begin{matrix}k_{1}\\\longrightarrow \\\longleftarrow \\k_{2}\end{matrix}}ES{\begin{matrix}k_{3}\\\longrightarrow \\\ \end{matrix}}E+P$

מהירות הריאקציה

ניתן להתייחס לריאקציה כריאקציה מסדר ראשון. הסבר : k₃ מגביל את מהירות הריאקציה ולכן הוא זה שקובע את מהירותה. K₃ תלוי בכמות ES. כלומר, התגובה אינה מושפעת מכמות האנזים והסובסטרט החופשיים, ולכן, השלב הראשון (בו האנזים והסובסטרט חופשיים) "אינו" משפיע על הריאקציה.

מכאן :

(3) מהירות V = k₃[ES]

• K3 - הקצב בו ES הופך לתוצר.
• [ES] - ריכוז הקומפלקס אנזים+סובסטרט.

הנחה שנייה

הסובסטרט נמצא בעודף ([s]>>>[E]), כיוון שהבדיקות נערכות בתנאים התחלתיים.

הנחה שלישית - ES נמצא במצב יציב; ריכוז ES הוא קבוע

הבדיקות נערכות כאשר [s]>>>[E], ולכן, כאשר משתחררת מולקולת סובסטרט או תוצר, נכנסת ישר אחריה מולקולת סובסטרט חדשה (כי יש ריכוז סובסטרט גבוה). מכאן, שכמות הנזים החופשי מצטמצם לעד אפס. מה שנרשם מתמטית :

נתון :

• K₁[E][S] - קצב מהירות יצרת התצמיד סובסטרט+אנזים.
• K₂[ES] + K₃[ES] - קצב פירוק התצמיד סובסטרט+אנזים.

הנחת היסוד - ריכוז ES קבוע, ולכן נשווה בין המשוואות :

K₁[E][S] = K₂[ES] + K₃[ES]

נעביר אגפים ונקבל :

K₁[E][S] - K₂[ES] - K₃[ES] = 0

נסמן אגף שמאל ב- ${\frac {d[P]}{dt}}=k_{3}[ES]$

ריכוז ES קבוע : ${\frac {d[P]}{dt}}=0$

פיתוח המשוואה והגעה אל הנוסחא של מיכאליס מנטן

E_T

עתה, נוצרת בעיה. על אף שאנו יכולים להתייחס אל ריכוז ES כקבוע, אין אנו יודעים מהו ריכוזו. מצד שני אנו יכולים לעריכו. $E_{T}=E+ES$

• ET - סה"כ אנזימים שהוכנסו.
• E - אנזים חופשי.

מכאן :(2) $E=E_{T}-ES$

הפיתוח

נחזור אל המשוואה :

K₁[E][S] = K₂[ES] + K₃[ES]

נבודד את ES :

[ES](K₂+K₃) = K₁[E][S]

נחלק ב-K1 ונקבל : $[ES]{\frac {(K_{2}+k_{3})}{k_{1}}}=[E][S]$

נציב סעיף 1 : $Km[ES]={[E][S]}$

נציב את סעיף 2 : $K_{m}[ES]={[E_{t}-ES][S]}$

נפתח : $K_{m}[ES]={[E_{T}][S]-[ES][S]}$

נעביר את [S][ES] לאגף שמאל : ${K_{m}[ES]+[S][ES]}={[E_{T}][S]}$

נוציא גורם משותף : $[ES](K_{m}+[s])=[E_{t}][S]$

נבודד ES ונקבל : $[ES]={\frac {[E_{t}][S]}{K_{m}+[S]}}$

אמרנו תחילה כי אנו מתייחסים אל המרעכת כאל מערכת ממסדר ראשון, כלומר : $V={K_{3}[ES]}$.

נבודד ES : $[ES]={\frac {V}{K_{3}}}$

נציב במשוואה : ${\frac {V}{K_{3}}}={\frac {[E_{T}][S]}{K_{m}+[S]}}$

נבודד מהירות : ${V}={\frac {K_{3}[E_{T}][S]}{K_{m}+[S]}}$

על פי סעיף (3) : $V={\frac {Vmax[S]}{K_{m}+[S]}}$

השפעת הסובסטרט על הפעילות האנזימטית

$V={\frac {Vmax[S]}{K_{m}+[S]}}$

כאשר S=KM

נציב במשוואה S=KM ונקבל : $V=Vmax*{\frac {[S]}{[S]+[S]}}$

נחבר : $V=Vmax*{\frac {[S]}{2[S]}}$

נצמצם : $V=Vmax*{\frac {1}{[S]}}$ =\frac{vmax}{2}</math>

בריכוז גבוהה של סובסטרט (S]>>>KM])

כיוון שריכוז הסובסטרט גבוהה מאוד (נניח מיליון) מול ערך אפיניות קטן מאוד (נניח 1), אין משמעות לערך האפיניות. כלומר : $V=Vmax*{\frac {[S]}{[S]}}$

נצמצם ונקבל : $V=Vmax$

בריכוז נמוך של סובסטרט

שוב, חוזר על עצמו אותו רעיון. ערך האפיניות גבוה מאוד (נניח מיליון), מול ערך סובסטרט קטן (נניח אחד). לכן, במכנה אין משמעות לערך הסובסטרט. נקבל : $V={Vmax}*{\frac {[s]}{Km}}$

לינאואר ברק

משוואת מיכאליס מנטן יוצרת גרף סיגמאטי עמו קשה לעבוד, לעומת, גרף לינאואר ברק אשר הינו גרף לינארי.

המשוואה :

לינאואר ברק

${\frac {1}{V}}={\frac {km}{Vmax}}*{\frac {1}{[S]}}+{\frac {1}{Vmax}}$.

• km/Vmax - שיפוע הגרף.
  
  
  
  
  
  
  
• אל תתבלבלו וזכרו ש- KM מופיע כשהוא בצד השלילי של הגרף. לדוגמא, נתונים 2 KM של שני האנזימים הבאים :

• -1/km = -0.5
• -1/km = -0.333

אנזים א' אפייני יותר לסובסטרט.

איך הגיעו למשוואת לינאואר ברק

$V={\frac {Vmax[S]}{K_{m}+[S]}}$

נחלק את המשוואה ונקבל : ${\frac {1}{V}}={\frac {km+[S]}{Vmax*[S]}}$

נפריד את הגורמים בה : ${\frac {1}{V}}={\frac {km}{Vmax}}*{\frac {1}{[S]}}+{\frac {S}{Vmax*[S]}}$

נצמצם בסובסטרט : ${\frac {1}{V}}={\frac {km}{Vmax}}*{\frac {1}{[S]}}+{\frac {1}{Vmax}}$