אנליזה נומרית/גזירה נומרית/הערכת השגיאה

לפי הסימטריות של הנתונים נוכל להסיק כי השגיאה לפי הפרשים קידמיים ולפי הפרשים אחוריים היא זהה. לכן נחשב מפורשות רק את השגיאה לפי הפרשים קידמיים.

הפרשים קדמיים

נביט על איבר הקירוב ועל האיבר הראשון שהוזנח בתור מייצג השגיאה (נסמן אותו בסוגריים מסולסלים).

$f^{\prime }(x_i)=\frac{1}{h}\mathrm{\Delta }f(x_i)+\{-\frac{1}{h}\frac{{\mathrm{\Delta }}^{2}f(x_i)}{2}\}=\frac{1}{h}(f(x_{i+1})-f(x_i))+\{-\frac{\mathrm{\Delta }}{2h}(f(x_{i+1})-f(x_i))\}$

נביט באיבר השגיאה, ונשתמש במשפט לגראנז':

$\frac{\mathrm{\Delta }}{2h}(f(x_{i+1})-f(x_i))=\frac{\mathrm{\Delta }}{2h}[h{f}^{\prime }(c)]=\frac{1}{2}[f^{\prime }(c+h)-f^{\prime }(c)]=\frac{h}{2}{f}^{″}(\hat{c})$

$\Rightarrow f^{\prime }(x_i)=\frac{1}{h}(f(x_{i+1})-f(x_i))-\{\frac{h}{2}{f}^{″}(c)\}$

אם כן, השגיאה פרופורציונית ל-h, או בכתיב מתמטי: $O(h)$.

הפרשים מרכזיים

כעת נחשב את השגיאה לפי הפרשים מרכזיים (שוב, נסמן את האיבר המייצג את השגיאה בסוגריים מסולסלים):

$f^{\prime }(x_i)=\frac{1}{h}\mu \delta f(x_i)+\{-\frac{1}{6h}\mu {\delta }^{3}f(x_i)+\mathrm{...}\}=\frac{1}{2h}(f(x_{i+1})-f(x_{i-1}))+\{-\frac{1}{6h}\mu {\delta }^{3}f(x_i)+\mathrm{...}\}$

נביט באיבר השגיאה ונשתמש במשפט לגראנז':

$\frac{1}{6h}\mu {\delta }^{3}f(x_i)=\frac{1}{6h}\mu {\delta }^2[f(x_{i+\frac{1}{2}})-f(x_{i-\frac{1}{2}})]=\frac{1}{6h}\mu {\delta }^{2}h{f}^{\prime }(c)=\frac{1}{6}\mu \delta [f^{\prime }(c+\frac{h}{2})-f^{\prime }(c-\frac{h}{2})]=$

$=\frac{h}{6}\mu \delta f^{″}(\hat{c})=\frac{h}{6}\frac{1}{2}[f^{″}(\hat{c}+h)-f^{″}(\hat{c}-h)]=\frac{h^2}{6}{f}^{‴}(\overline{c})$

$\Rightarrow f^{\prime }(x_i)=\frac{1}{2h}(f(x_{i+1})-f(x_{i-1})+\{-\frac{h^2}{6}{f}^{‴}(\overline{c})\}$

אם כן, השגיאה פרופורציונית ל-h², או בכתיב מתמטי: $O(h^2)$. לכן אם $h\to 0$ אז השגיאה לפי הפרשים מרכזיים קטנה יותר.

נשים לב כי קודם הפעלנו את ${\mathrm{\Delta }}^2$ וקיבלנו $h^2{f}^{″}$ ואילו כאן הפעלנו את ${\delta }^3$ וקיבלנו $h^3{f}^{‴}$.

הכללה

כללית: אם אבר השגיאה הוא ${\mathrm{\Gamma }}^{n}f(x_i)$, כאשר גאמא הוא אופרטור הפרשים סופיים, אז השגיאה תהיה $h^n{f}^{(n)}(c)$.