אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים מרכזיים

$\ hf'(x_{i})=hDf(x_{i})=2\sinh ^{-1}{\delta \over 2}f(x_{i})=2\left[{\delta \over 2}-{1 \over 6}\left({\delta \over 2}\right)^{3}+{3 \over 40}\left({\delta \over 2}\right)^{5}+...\right]f(x_{i})$

קירוב לינארי:

$\ f'(x_{i})\approx {\delta f(x_{i}) \over h}={f(x_{i+{1 \over 2}})-f(x_{i-{1 \over 2}}) \over h}$

קיבלנו ביטויים המערבים נקודות ביניים אשר אינן נתונות לנו, ולכן הנוסחה הנ"ל איננה מעשית. נשתמש בקשר $\ \mu \left({\sqrt {1+{\delta ^{2} \over 4}}}\right)^{-{1 \over 2}}=1$ כדי לקבל נוסחה שמישה:

$\ hf'(x_{i})=\mu \left(1+{\delta ^{2} \over 4}\right)^{-{1 \over 2}}2\sinh ^{-1}{\delta \over 2}f(x_{i})=$

$\ =\mu \left[1+\left(-{1 \over 2}\right){\delta ^{2} \over 4}+{\frac {\left(-{1 \over 2}\right)\left(-{3 \over 2}\right)}{2!}}\left({\delta ^{2} \over 4}\right)^{2}+...\right]2\left[{\delta \over 2}-{1 \over 6}\left({\delta \over 2}\right)^{3}+...\right]f(x_{i})=$

$\ =\left[\mu \delta -{1 \over 6}\mu \delta ^{3}+{1 \over 30}\mu \delta ^{5}+...\right]f(x_{i})$

קירוב לינארי:

$\ f'(x_{i})\approx {1 \over h}\mu \delta f(x_{i})={1 \over h}\mu \left[f(x_{i+{1 \over 2}})-f(x_{i-{1 \over 2}})\right]=$

$\ {1 \over 2h}\left[\left(f(x_{i+1})+f(x_{i})\right)-\left(f(x_{i})+f(x_{i-1})\right)\right]={1 \over 2h}\left[f(x_{i+1})-f(x_{i-1})\right]$

נגזרת שנייה

$\ h^{2}f''(x_{i})=(hD)^{2}f(x_{i})=\left[2\sinh ^{-1}{\delta \over 2}\right]^{2}f(x_{i})=$

$\ =4\left[{\delta \over 2}-{1 \over 6}\left({\delta \over 2}\right)^{3}+...\right]^{2}f(x_{i})=\left(\delta ^{2}-{1 \over 12}\delta ^{4}+...\right)f(x_{i})$

$\ \Rightarrow f''(x_{i})\approx {1 \over h^{2}}\delta ^{2}f(x_{i})={1 \over h^{2}}[f(x_{i+1})-2f(x_{i})+f(x_{i-1})]$

נשים לב כי בנוסחה הנ"ל אין צורך להשתמש ב-μ מכיוון שחזקות זוגיות של δ תלויות בנקודות נתונות (i-1, i, i+1, ...), בניגוד לחזקות אי זוגיות, אשר תלויות בנקודות ביניים (i+1/2, i-1/2 ...).