תורת הבקרה/שיטת ליאפונוב

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שיטת ליאפונוב לבדיקת יציבות אינה מוגבלת רק למערכות לינאריות, כמו שיטות אחרות כגון נייקוויסט וראוט, וניתן לבדוק בעזרתה יציבות של מערכות לא לינאריות ו/או משתנות בזמן. גולת הכותרת של השיטה היא שאינה מצריכה פתרון של מערכת המשוואות, אך המכשול הגדול בבדיקה הוא ניחוש פונקצית ליאפונוב V שתקיים דרישות מסוימות, כתנאי ליציבות.

שיטת ליאפונוב היא למעשה שיטה לבדיקת יציבות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות, ומערכת משוואות המצב היא למעשה משוואה דיפרנציאלית. יש לשים לב כי תנאי ליאפונוב הוא מספיק אך אינו הכרחי. כלומר, אם לא מוצאים פונקציה V כזו, אין זה אומר שהמערכת לא יציבה. במערכות פיזיקליות ניתן להעזר בחוקי שימור (כגון שימור אנרגיה) על מנת להרכיב פונקציה כזו.

נציג כאן רק את המקרה הרציף ולא נתייחס למערכות בדידות (discrete-time systems).

מצבי שיווי משקל[עריכה]

Blue think.svg שיווי משקל הוא בעצם מינימום אנרגיה. איפוס המהירות (נגזרת ראשונה של המיקום) יאפס את האנרגיה הקינטית, איפוס המיקום יאפס את האנרגיה האלסטית של קפיץ, וכדומה.

המצב \ \vec x_e הוא מצב שיווי משקל של מערכת דינמית מהצורה \ \dot\vec x=f(\vec x,t) אם מתקיים: \ f(\vec x_e,t)=0,\ \forall t.

לכן את מצבי שיווי המשקל נמצא באמצעות השוואת וקטור הנגזרות לאפס:

\ \dot\vec x=0

כלומר נפתור מערכת משוואות כך שכל נגזרת של משתנה מצב מתאפסת:

\ \dot x_1=0,\ \dot x_2=0,\ \dot x_3=0,\ ...

דוגמה: מצבי שיווי משקל[עריכה]

מצבי שיווי המשקל של המערכת הדינמית המתוארת על ידי מערכת המשוואות

\ \begin{cases} \dot x_1=-x_1+x_2^2 x_1 \\ \dot x_2 = ax_1^2 x_2 - x_2 \end{cases}

כתלות בפרמטר a, יימצאו על ידי המצב בו \ \dot x_1,\dot x_2=0:

\ \begin{cases} -x_1+x_2^2 x_1=0 \\ ax_1^2 x_2 - x_2=0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x_1=0\ \Leftrightarrow\ x_2=0 \\ x_2=\pm 1\ \Leftrightarrow\ x_1=\pm\sqrt{1\over a} \end{cases}

כלומר קבלנו 5 מצבי שיווי משקל במערכת. (המשך הדוגמה)


אחרי שמצאנו את מצבי שיווי המשקל, ניתן לעבור לבדיקת יציבותם:

יציבות במובן ליאפונוב[עריכה]

נניח כי למערכת דינמית קיים מצב שיווי משקל \ \vec x_e. באופן כללי,

  1. המערכת תקרא יציבה במובן ליאפונוב אם כל הפתרונות של המערכת הדינמית שמתחילים ב-\ \vec x_e נשארים קרוב ל-\ \vec x_e לנצח.
  2. מערכת נקראת יציבה אסימפטוטית במובן ליאפונוב אם כל הפתרונות של המערכת הדינמית שמתחילים ב-\ \vec x_e, מתכנסים בסופו של דבר חזרה ל-\ \vec x_e.

כעת למתמטיקה:

נניח מערכת דינמית כללית מהצורה:

\ \dot{\vec x} = f(\vec x(t)), \qquad \vec x(0) = \vec x_0

כאשר:

  • \ \vec x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n הוא וקטור משתני המצב,
  • \mathcal{D} הוא תחום פתוח שמכיל את הראשית (מרחב המצב),
  • f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n פונקציה רציפה על \mathcal{D}.

מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור בגודל n.


ללא הגבלת הכלליות, נניח כי נקודת שיווי המשקל נמצאת בראשית[1]:

  1. הראשית היא נקודת שיווי משקל יציבה במובן ליאפונוב אם לכל \ \epsilon > 0 קיימת \ \delta = \delta(\epsilon) > 0, כך שאם \ \|x(0)\| < \delta, אז \ \|x(t)\| < \epsilon, לכל \ t \geq 0[2]. שימו לב כי לא חייב להתקיים ε<δ.
  2. הראשית היא נקודת שיווי משקל יציבה אסימפטוטית אם היא יציבה במובן ליאפונוב ואם קיימת \ \delta > 0 כך שאם \ \|x(0) \|< \delta, אז \ \lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = 0 (כלומר התכנסות לנקודת שיווי המשקל, שנמצאת בראשית, ולכן הגבול הוא ב-0).
  3. הראשית היא נקודת שיווי משקל יציבה מעריכית אם היא יציבה אסימפטוטית ואם קיימות \ \alpha, \beta, \delta >0 כך שאם \|x(0)\| < \delta, אז \|x(t)\| \leq \alpha\|x(0)\|e^{-\beta t}, עבור t \geq 0 (כלומר לוקטור המצב קיים סדר מעריכי[3]).

כלומר:

  1. יציבות של נקודת שיווי משקל במובן לאיפונוב משמעה שאם פתרון מתחיל "מספיק קרוב" לנקודת שיווי המשקל (במרחק δ ממנו), יישאר "מספיק קרוב" לנצח (במרחק ε ממנו). שימו לב כי המתואר צריך להתקיים עבור כל ε שנבחר.
  2. ביציבות אסימפטוטית, פתרונות שמתחילים "מספיק קרוב" לנקודת שיווי המשקל, לא רק שיישארו "מספיק קרוב" אלא יתכנסו אל שיווי המשקל בסופו של דבר.
  3. ביציבות מעריכית, לא רק שהפתרון מתכנס לשיווי המשקל, הוא מתכנס לפחות מהר כמו הקצב המעריכי \alpha\|x(0)\|e^{-\beta t}.

התנאים הנ"ל אינם מעשיים כל כך, אך החוק השני[4] של ליאפונוב מעשי מאוד:

החוק השני של ליאפונוב[עריכה]

Blue think.svg תנאי ליאפונוב הוא מספיק, אך אינו הכרחי. כלומר לא ניתן להוכיח אי-יציבות בעזרתו. אפשר לנסות V אחרת...

נקרא גם: "השיטה הישירה של ליאפונוב". שיטה זו מבוססת על עקרון מינימום האנרגיה הפוטנציאלית של לגראנז'.

יציבות מקומית במובן ליאפונוב[עריכה]

המערכת הדינמית \ \dot x=f(x,t) היא יציבה מקומית (במובן ליאפונוב) אם למערכת יש מצב שיווי משקל וקיימת פונקציה סקלרית \ V(x):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} המקיימת:

  1. V ונגזרותיה החלקיות מסדר ראשון מוגדרות ורציפות בכל מרחב המצב \ \mathcal{D}.
  2. \ \begin{cases} V(x)>0,\ \forall x\neq 0 \\ V(0)=0 \end{cases} (כלומר: V מוגדרת חיובית - positive definite).
  3. \ \dot V(x(t))\leq 0 (כלומר מוגדרת לא חיובית - negative semi-definite).
Blue think.svg לדוגמה, הפונקציה \ V=x_1^2+x_2^2 מוגדרת חיובית.

אז המערכת יציבה (כלומר נקודת שיווי המשקל שבדקנו הינה יציבה) ו-V נקראת פונקצית ליאפונוב. בעזרת פונקצית ליאפונוב ניתן להוכיח יציבות של נקודה קבועה כלשהי, אך אין מרשם למציאת פונקציה כזו, פרט לנקיטה בשיטת ניסוי וטעייה.


כדאי לדעת:

:\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{dx}{dt} = \nabla V  \dot{x} = \nabla V f(x)

עקרונית, V אמורה להיות הביטוי לאנרגיה הכוללת של המערכת (כי בשיווי משקל היא שווה ל-0, ובכל מקום אחר היא חיובית), והתנאי ליציבות הוא איבוד אנרגיה עם הזמן, אשר תביא בסופו של דבר למנוחה. כאשר מדובר במערכות פיזיקליות פשוטות אכן ניתן למצוא ביטוי לאנרגיה של המערכת, אך במערכות מורכבות זה קשה עד בלתי אפשרי. ליאפונוב הראה שלמעשה, לשם קביעת יציבות, אין צורך בביטוי המדויק לאנרגיה, אלא מספיק למצוא פונקצית ליאפונוב כנ"ל.

יציבות אסימפטוטית במובן ליאפונוב[עריכה]

המערכת הדינמית \ \dot x=f(x,t) היא יציבה אסימפטוטית (במובן ליאפונוב) אם למערכת יש מצב שיווי משקל יחיד וקיימת פונקציה סקלרית V המקיימת את 2 התנאים הראשונים הנ"ל, ואילו התנאי השלישי חריף יותר:

3b. \ \dot V(x(t))<0,\ \forall \vec x\neq 0 (כלומר מוגדרת שלילית - negative definite)

דוגמה: המשך (יציבות)[עריכה]

נחזור לדוגמה שהוצגה לעיל. נבדוק עבור אילו ערכים של הפרמטר a המערכת תהיה יציבה בראשית (x1=x2=0). נבדוק זאת באמצעות פונקצית ליאפונוב הבאה:

\ V=x_1^2+x_2^2

קל לראות שהתנאים 1,2 לעיל מתקיימים. נבדוק את תנאי 3:

\ \dot V= 2x_1\dot x_1+2x_2\dot x_2=2(-x_1^2+x_2^2x_1^2)+2(ax_1^2x_2^2-x_2^2)\le 0

כך ש:

\ \Rightarrow\quad \underbrace{-x_1^2-x_2^2}_{<0,\ \forall\vec x\neq 0} + \underbrace{x_1^2x_2^2(a+1)}_{<0,\ \forall\vec x\neq 0;\ a<-1} \le 0

ולכן ניתן לומר כי \ \dot V היא בוודאות מוגדרת שלילית (negative definite) עבור a<-1. עם זאת, היציבות היא מקומית בלבד מכיוון שיש מספר נקודת שיווי משקל (ולא אחת יחידה).

(המשך הדוגמה)

יציבות גלובלית[עריכה]

המערכת הדינמית \ \dot x=f(x,t) היא יציבה גלובלית אם המערכת יציבה מקומית (תנאים (1,2,3)), ובנוסף:

4. \ \lim_{\|x\|\to\infty} V=\infty

המערכת הדינמית \ \dot x=f(x,t) היא יציבה אסימפטוטית גלובלית אם המערכת יציבה אסימפטוטית (תנאים (1,2,3b)), ובנוסף מתקיים תנאי 4 כנ"ל.

דוגמה: המשך (יציבות גלובלית)[עריכה]

בהמשך לדוגמה, נבדוק יציבות גלובלית. קל לראות שאכן מתקיים

\ \lim_{\|x\|\to\infty} V= \lim_{x_1,x_2\to\infty} \left(x_1^2+x_2^2\right)=\infty

ולכן היציבות היא גלובלית. עם זאת, היציבות אינה אסימפטוטית גלובלית מכיוון שיש מספר נקודות שיווי משקל (ולא אחת יחידה).

יציבות של מערכת LTI[עריכה]

התנאים הבאים שקולים:

  1. המערכת \ \dot x=Ax יציבה אסימפטוטית בראשית.
  2. החלק הממשי של כל ערך עצמי של A הוא שלילי.
  3. לכל שורשי הפולינום האופיני \ |sI-A| יש חלק ממשי שלילי.
  4. לכל מטריצה מוגדרת חיובית Q, קיימת מטריצה מוגדרת חיובית P, כך ש: Q=ATP+PA- (ואז xTPx היא פונקצית ליאפונוב)[5].

נעסוק כעת בתנאי 4.

תבנית ריבועית[עריכה]

(להשלים)

שיטת LUR[עריכה]

Blue think.svg מוגדרות חיובית של מטריצה:
  • קריטריון סילבסטר: כל המינורים הראשיים חיוביים.

נניח כי המטריצה A אינה סינגולרית וכי קיים שיווי משקל יחיד בראשית.

נבחר פונקצית לאיפונוב מהצורה:

\ V=x^T Px

כאשר המטריצה P מוגדרת חיובית.

הביטוי לנגזרת פונקצית ליאפונוב הוא:

\ \dot V=\dot x^T P x + x^T P\dot x

נציב \ \dot x=Ax ונקבל:

\ \dot V= x^T(A^TP+PA)x

כזכור, ליציבות אסימפטוטית יש לדרוש שפונקצית הנגזרת תהיה מוגדרת שלילית. לכן נסמן[6]:

\ Q=-(A^TP+PA) \quad\Rightarrow\quad \dot V=-x^T Q x

ונדרוש ש-Q תהיה מוגדרת חיובית. נשאר לנו לבחור מטריצה P מתאימה. כזכור, A ו-x הם ממשיים, ולכן ניתן לבחור P סימטרית. עם זאת, נוח יותר לקבוע את Q להיות מטריצת היחידה ולבדוק אם P יוצאת מוגדרת חיובית:

\ A^TP+PA=-I

בשיטה זו נקבל n(n+1)/2 משוואות לינאריות.


כדאי לדעת:

ניתן לבחור את מטריצה Q להיות PSD ולא PD, אם הנגזרת של V לא מתאפסת על מסלול הפתרון, כלומר המכפלה xTQx מתאפסת רק בנקודת שיווי המשקל.

מוגדרות חיובית של P היא תנאי הכרחי ומספיק ליציבות אסימפטוטית.

מטלאב[עריכה]

lyap


(להשלים)

הערות[עריכה]

  1. תמיד ניתן למצוא טרנספורמציה כזו שתעביר את נקודת שיווי המשקל לראשית. אחרת בכל מקום בו כתוב x צריך להיות כתוב \ x-x_e, ובכל מקום בו כתוב \ V(0), צריך להיות כתוב \ V(x_e).
  2. הסימון \ \| \cdot \| משמעות הנורמה האויקלידית השנייה, ועבור וקטור מסדר 3 למשל, משמעות הביטוי היא: \ \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.
  3. למידע נוסף על סדר מעריכי של פונקציה, קראו בויקיפדיה.
  4. בחוק הראשון, שנקרא גם השיטה העקיפה של ליאפונוב, מבצעים לינאריזציה סביב נקודת שיווי המשקל ומסיקים יציבות לגבי המערכת הלא-לינארית בהתאם לערכים העצמיים של מטריצת המצב. לא נעסוק בשיטה זו כאן.
  5. הסימן העילי T פירושו שיחלוף (transpose), וניתן להשתמש בו כאשר מדובר במטריצת מקדמים ממשית ובמשתני מצב ממשיים. אחרת יש להציג את מושג ההרמיטיות, שלא נעסוק בו כאן.
  6. מתוך Ogata, K., Modern Control Engineering, 3rd Edition.

קישורים חיצוניים[עריכה]

  • מאמר מאתר אוניברסיטת nps.