תורת הבקרה/פתרון משוואת המצב עבור מערכת קבועה בזמן

משוואת המצב -

$\ \dot \vec x= A\vec x+B\vec u$

היא מד"ר מסדר ראשון, אלא שהמשתנים הם וקטורים והמקדמים הם מטריצה.

מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור מסדר n.

כניסה אפס

נפתור באמצעות הפרדת משתנים:

$\ \dot \vec x= A\vec x \quad\Rightarrow\quad {dx(t)\over x(t)}=Adt \quad\Rightarrow\quad x(t) = e^{At+C}$

במקום קבוע מעריכי C נציב קבוע כפלי, שהוא למעשה תנאי ההתחלה:

$\ x(t) = x(t_0)e^{At}$

המטריצה $\ e^{At}$ נקראת מטריצת מצב-מעבר (state-transition matrix), ונדון עליה בהמשך. כמו כן, הביטוי $\ x(t_0)e^{At}$ הוא הפיתרון ההומוגני של המשוואה שנפגוש בהמשך:

כדאי לדעת: במטלאב: את אקספוננט המטריצה A יש לחשב באמצעות הפונקציה expm, ולא באמצעות exp הרגיל, אשר מחשב איבר-איבר.

כניסה שונה מאפס

במקרה זה לא ניתן לבצע הפרדת משתנים. הטריק הוא להכפיל ב-$\ e^{-At}$ ואז נקבל נגזרת של מכפלה:

$\ e^{-At}\dot x(t)- e^{-At}Ax(t)= {d\over dt}\left[e^{-At}x(t)\right] = e^{-At}Bu(t)$

נבצע אינטגרציה על הביטוי האחרון מהזמן ההתחלתי t₀ ועד לזמן הנוכחי t, ונקבל:

$\ \tau$ הוא משתנה דמה!

$x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0) + \int_{t_0}^{t}e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau$

באופן דומה, עבור משוואת הפלט נקבל:

$y(t) = Ce^{A(t-t_0)}x(t_0) + C\int_{t_0}^{t}e^{A(t - \tau)}Bu(\tau)d\tau + Du(t)$

זהו הפתרון הכללי של משוואת מצב LTI עם כניסה שונה מאפס.

מטריצת המעבר

מטריצת המעבר קיבלה את שמה בעקבות הקישור שהיא ממלאת:

$\ \vec x(t_1)= e^{A(t_1-t_0)}\cdot \vec x(t_0)$

כלומר, מקשרת בין וקטורי המצב בין שני זמנים כלשהם.

מטריצת המעבר מוגדרת:

$\ \phi(t_1,t_0)=e^{A(t_1-t_0)}= \phi(t_1-t_0)$

תכונות מטריצת המעבר

1. $\ \dot\phi(t,t_0)=A\phi (t,t_0)$
2. $\ \phi(t_0,t_0)=I$
3. $\ \phi(t_2,t_0)=\phi(t_2,t_1)\cdot \phi(t_1,t_0)$
4. $\ \phi(t_0,t_1)=\phi^{-1}(t_1,t_0)$
5. הערכים העצמיים של A הם קטבי המערכת.
6. טרנספורמציה לינארית של משתני המצב לא תשנה את הקטבים.

חישוב מטריצת המעבר

באמצעות טור טיילור

$\ e^{At}= I+At+ {1\over 2!}(at)^2+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} {(At)^n\over n!}$

מטלאב:

expm(A);

באמצעות התמרת לפלס

$\ \dot\vec x=A\vec x \quad\Rightarrow\quad s\vec X(s)-\vec X_0=A\vec X(s) \quad\Rightarrow\quad \vec X(s)=[sI-A]^{-1} \vec X_0$

נבצע התמרה הפוכה, חזרה למישור הזמן:

$\ \vec x(t)= \mathcal{L}^{-1} \left\{\left[sI-A\right]^{-1}\vec X_0 \right\}$

כך שבזמן אפס:

$\ \phi(t)=\phi(t,0)= \mathcal{L}^{-1} \left\{\left[sI-A\right]^{-1} \right\}$

כלומר מטריצת המעבר היא:

$\ \phi(t)=e^{At}= \mathcal{L}^{-1} \left\{\left[sI-A\right]^{-1} \right\}$

דוגמאות

(להשלים)

טרנספורמציה לינארית של משתני המצב

כזכור, מערכת משתני המצב מוגדרת כך:

$\begin{cases}\dot \vec x= A\vec x+B\vec u \\ \vec y= C\vec x+D\vec u \end{cases}$

נגדיר וקטור מצב חדש באמצעות מטרית המעבר Q:

$\ \vec z= Q\vec x,\ \vec z(t_0)=Q\vec x_0$

כאשר Q מן הסתם הפיכה, כלומר: $\ \mbox{det} Q\neq 0$, ואז:

$\ \begin{cases} \vec x=Q^{-1}\vec z \\ \dot\vec x= Q^{-1} \dot\vec z \end{cases}$

אם נציב ביטויים אלו למערכת משתני המצב, נקבל:

$\begin{cases}\dot \vec z= QAQ^{-1}\vec z+QB\vec u \\ \vec y= CQ^{-1}\vec z+D\vec u \end{cases}$

נגדיר את הביטויים:

$\ \begin{cases}\tilde A= QAQ^{-1},\ \tilde B=QB \\ \tilde C = CQ^{-1}\end{cases}$

ואז:

$\begin{cases}\dot \vec z= \tilde A\vec z+\tilde B\vec u \\ \vec y= \tilde C\vec z+D\vec u \end{cases}$

טרנספורמציה קנונית: לכסון משוואת המצב

נסמן $\ \lambda_i,\ \vec v_i$ הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים המתאימים להם, של המטריצה A, ונניח בפיתוח זה כי הם שונים זה מזה, כלומר:

$\ \lambda_i\vec v_i=A\vec v_i\ ,\quad \lambda_i\neq\lambda_j\ \quad\forall i\neq j;\;\; i,j=1,...,n$

נגדיר:

$\ V=Q^{-1}$

כך ש:

$\ \vec x=V\vec z,\quad \vec z_0=V^{-1}\vec x_0$

ו-V היא מטריצת הוקטורים העצמיים, כך ש:

$\ V=[\vec v_1\ \vec v_2\ \cdots\ \vec v_n]$

ו-Λ היא מטריצה אלכסונית של הערכים העצמיים:

$\ \Lambda=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ \cdots\ \lambda_n)$

נבצע את המכפלה AV לשם הבהרה:

$\ AV= [A\vec v_1\ A\vec v_2\ \cdots\ A\vec v_n]= [\lambda_1\vec v_1\ \lambda_2\vec v_2\ \cdots\ \lambda_n\vec v_n]= \underbrace{[\vec v_1\ \vec v_2\ \cdots\ \vec v_n]}_V \underbrace{\begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}}_{\Lambda}=V\Lambda$

ולכן:

$\ A=V\Lambda V^{-1}$

כך שמתקבל:

$\begin{cases}\dot \vec z= \Lambda\vec z+V^{-1} B\vec u \\ \vec y= CV\vec z+D\vec u \end{cases}$

מטריצת מעבר

$\ \dot\vec z=\Lambda\vec z+V^{-1}B\vec u$

$\ \phi(t)=e^{\Lambda t}= \begin{bmatrix} e^{\lambda_1 t} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & e^{\lambda_n t} \end{bmatrix}$

לשם המשך הפיתוח, נשתמש בקשר הבא:

$\ A=V\Lambda V^{-1} \quad\Rightarrow\quad A^n=V\Lambda^n V^{-1}$

כך שמתקיים:

$\ e^{At}=I+At+{(At)^2\over 2}+\cdots = VV^{-1}+ V\Lambda V^{-1}t+ {(V\Lambda V^{-1})^2\over 2!}t^2+\cdots=$

$\ =V(I+\Lambda t+ {(\Lambda t)^2\over 2!}+\cdots)V^{-1}= V e^{\Lambda t}V^{-1}$

לסיכום:

$\ e^{At}= Ve^{\Lambda t}V^{-1} \quad\Longleftrightarrow\quad e^{\Lambda t}=V^{-1}e^{At}V$

ערכים עצמיים מריבוי r

(להשלים)