תורת הבקרה/עקום בודה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

דף זה נמצא כעת בשלבי עריכה. הנכם מתבקשים שלא לערוך אותו בטרם תוסר הודעה זו.

במקרה שדף זה לא נערך במשך שבוע או יותר, רשאי כל משתמש להסיר הודעה זו.

עקומי בודה הם דרך נוחה להסתכלות על תגובת האמפליטודה ותגובת התדר של מערכת. באמצעות שימוש בתכונות הלוגריתם מפרקים את פונקצית התמסורת לסכומים והפרשים כך שניתן לצייר את התוצאה ללא קושי.

תוכן עניינים

1 פיתוח מתמטי
2 אבחנות
- 2.1 קירוב אסימפטוטי
- 2.2 הגרף האמיתי
3 כללים לשרטוט עקום בודה אסימפטוטי
4 מטלאב
- 4.1 דרך אחרת
5 ראו גם
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] פיתוח מתמטי

נניח כי נתונה פונקצית תמסורת מהצורה:

$\ G(s)={B(s)\over A(s)}= \frac{s^m+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_0} {s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0}$

על מנת לשרטט עקום בודה, יש להמיר את המבנה לצורת בודה:

$\ G(s)= K_0\frac{(\tau_1's+1)(\tau_2's+1)\cdots (\tau_m's+1)}{(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)\cdots (\tau_ns+1)}$

שימו לב כי מתקיים: $\ K_0={b_0\over a_0}$ . אנו מעוניינים בתגובת התדר ולכן נציב s=jω:

$\ G(j\omega)= K_0\frac{(\tau_1'j\omega+1)(\tau_2'j\omega+1)\cdots (\tau_m'j\omega+1)}{(\tau_1j\omega+1)(\tau_2j\omega+1)\cdots (\tau_nj\omega+1)}$

מתכונות המספרים המרוכבים נקבל:

$\ k(\omega)= |G(j\omega)|= K_0\frac{\sqrt{(\tau_1'\omega)^2+1} \sqrt{(\tau_2'\omega)^2+1}\cdots \sqrt{(\tau_m'\omega)^2+1}} {\sqrt{(\tau_1\omega)^2+1}\sqrt{(\tau_2\omega)^2+1}\cdots \sqrt{(\tau_n\omega)^2+1}}$

$\ \begin{align} \phi(\omega) & = \arg G(j\omega)= \tan^{-1}(\tau_1'\omega)+ \tan^{-1}(\tau_2'\omega)\ +\cdots \\ & +\ \tan^{-1}(\tau_m'\omega)-\left[\tan^{-1}(\tau_1\omega)+ \tan^{-1}(\tau_2\omega)\ +\cdots +\ \tan^{-1}(\tau_n\omega)\right] \\ \end{align}$

כאשר נעבור לסקלה לוגריתמית כל המכפלות והחלוקות יהפכו לחיבורים ולחיסורים, ואז נוכל לצייר תרובה של כל איבר בנפרד על הגרף, ולבסוף לסכם. לשם כך נגדיר:

$\ k_{dB}(\omega)\ \overset{\triangle}{=}\ 20\log_{10} k(\omega)$

ואז:

$\ \begin{align} k_{dB}(\omega) & = 20\left[\log_{10}K_0+ \log_{10}\sqrt{(\tau_1'\omega)^2+1}\ +\cdots \right. \\ & \left. +\ \log_{10}\sqrt{(\tau_m'\omega)^2+1}- \log_{10}\sqrt{(\tau_1\omega)^2+1}\ -\cdots-\ \log_{10}\sqrt{(\tau_n\omega)^2+1}\right] \\ \end{align}$

שימו לב כי:

$\ f(\omega)=20\log_{10}\sqrt{(\tau\omega)^2+1}= 10\log_{10}\left[(\tau\omega)^2+1\right]$ ,

כך שכל מה שנשאר הוא לדעת כיצד לצייר ביטויים כמו זה האחרון.

[עריכה] אבחנות

[עריכה] קירוב אסימפטוטי

עבור $\ \tau\omega<<1$ מתקבל $\ f(\omega)\approx 10\log_{10}1=0$ .
עבור $\ \tau\omega>>1$ מתקבל $\ f(\omega)\approx 20\log_{10}\tau\omega= 20[\log_{10}\omega+\log_{10}\tau]$ .

כך שעל נייר חצי-לוגריתמי מקרה (2) הוא קו ישר.
נתבונן במתחולל כל דקאדה בעקום הבודה:

$\ 20\log_{10}(\tau 10\omega)= 20\log_{10}\omega\tau + 20 \quad\Rightarrow\ \Delta_{10}=20 dB$

כלומר שיפוע העקום הוא $20{dB\over dec}$ .
תדירות הברך (corner frequency):

$\ f(\omega_c)= 20\log_{10}\omega_c\tau=0\ \Rightarrow\ \omega_c={1\over\tau}$

[עריכה] הגרף האמיתי

ההפרש המקסימלי בין הגרף לאסימפטוטה: $\ f(\omega_c)= 20\log_{10}\sqrt{1+1} \approx 3dB$ .

[עריכה] כללים לשרטוט עקום בודה אסימפטוטי

עקום בודה בו מרחק האפס מהקוטב הוא דקאדה אחת.

מציירים בנפרד את עקום הבודה עבור כל קוטב וכל אפס (לכל קוטב או אפס מריבוי הגדול מ-1 יהיה גרף בודד, כלומר את המקרה $\ (s+3)^4$ נשרטט על גרף בודד ולא נפרדים ל-4 גרפים שונים.
לאחר שכל הגרפים הנפרדים מוכנים, מאחדים אותם לגרף בודד באמצעות תכונת הלינאריות.
קוטב מוריד את עקום ההגבר ואת עקום הפאזה, ואילו אפס מעלה אותם.

[עריכה] קטבים ואפסים ממשיים

שיפוע עקום ההגבר הינו אפס, עד לקוטב (או אפס) אשר גורם לשיפוע בעקום ההגבר.
שיפוע עקום הפאזה הינו אפס, פרט לאזור סביב הקוטב (או האפס) המושפע ממנו. תחום ההשפעה הינו מדקאדה אחת לפני הקוטב, ועד דקאדה אחת אחרי אותו קוטב.
קוטב מריבוי r_p גורם לשיפוע של $\ -20r_p \left[\tfrac{dB}{dec}\right]$ בעקום ההגבר, ולשיפוע של $\ -90^or_p$ בעקום הפאזה.
אפס מריבוי r_z גורם לשיפוע של $\ 20r_z \left[\tfrac{dB}{dec}\right]$ בעקום ההגבר, ולשיפוע של $\ 90^or_z$ בעקום הפאזה.
בכל גרף בודד כזה, עקום הפאזה הינו אנטי-סימטרי ביחס ל- $\ 45^o r$ , כאשר r הינו ריבוי הקוטב או האפס הנידון.

[עריכה] קטבים או אפסים מרוכבים

(להשלים)

[עריכה] מערכת Non Minimum Phase

(להשלים)

[עריכה] מטלאב

נניח כי $\ G(s)={2\over s^2+0.4s+1}$ .יש להגדיר וקטורי פולינום של מונה ומכנה באמצעות מערך, או לחילופין להשתמש בפונקציה conv לשם "פתיחת סוגריים".

num=[0 2];
den=[1 0.4 1];
bode(num,den)
grid on;

[עריכה] דרך אחרת

num=[0 2];
den=conv([1 0.2-0.9798*i],[1 0.2+0.9798*i]);
G=tf(num,den);
bode(G)
grid on;

[עריכה] ראו גם

תכנות של שרטוט עקום בודה

[עריכה] קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: עקום בודה (אנגלית)

תמונות ומדיה בוויקישיתוף: עקומי בודה

תורת הבקרה/עקום בודה

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] פיתוח מתמטי

[עריכה] אבחנות

[עריכה] קירוב אסימפטוטי

[עריכה] הגרף האמיתי

[עריכה] כללים לשרטוט עקום בודה אסימפטוטי

[עריכה] קטבים ואפסים ממשיים

[עריכה] קטבים או אפסים מרוכבים

[עריכה] מערכת Non Minimum Phase

[עריכה] מטלאב

[עריכה] דרך אחרת

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא