תורת הבקרה/מקדמי שגיאה סטטיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרת השגיאה

מערכת משוב
מערכת משוב יחידה

שגיאת המצב התמיד (steady-state error) או שגיאת העקיבה מוגדרת בתור: \ E(s)=R(s)-C(s). שימו לב כי במקרה הכללי, אין שגיאה זו שווה לשגיאה מיד אחר נקודת הסכימה. רק במשוב יחידה שתי השגיאות שוות.

[עריכה] פיתוח מתמטי

לשם קבלת הביטויים נסמן את האות היוצא מנקודת הסכימה בתור a. מתקבל[1]:

\ a=R-CH=R-aGH\ \Rightarrow\ a={R \over {1+GH}}\ \Rightarrow\ C={RG \over 1+GH}

הצבת ביטוי זה בהגדרה לשגיאה נותנת:

\ E=R \left(1-{G \over 1+GH} \right)

ועבור H=1 אכן מתקבל E=a:

\ \bar{E}={R \over 1+\bar{G}}

[עריכה] דרך אחרת

אם בהגדרת השגיאה נוציא את R מחוץ לסוגריים, נקבל:

\ E=R \left(1-{C\over R} \right)

כלומר על מנת למצוא את השגיאה יש לחשב את פונקצית התמסורת הכוללת של המערכת, שאותה תמיד ניתן למצוא. אחרי שקיבלנו את הביטוי המתאים, נשאר לכפול אותו באות הכניסה כדי לקבל את השגיאה.

מאלגברת בלוקים ידוע כי:

\ {C\over R}= {G \over 1+GH}

ובהצבת ביטוי זה לביטוי הקודם מתקבלת בדיוק אותה תוצאה כמו מקודם.

[עריכה] מקדמי השגיאה הסטטיים

מערכת משוב יחידה

נעסוק בשגיאות המצב המתמיד של מערכות מסוג שונה כתגובה לכניסות שונות. מקדמי השגיאה הסטטיים מוגדרים עבור מערכת משוב-יחידה. נסמן ב-k את סוג המערכת.

ניזכר כי שגיאת המצב המתמיד במערכת משוב-יחידה היא מהצורה \ \bar{E}={R \over 1+\bar{G}}. לכן על פי משפט הערך הסופי[2], עבור כניסה מהצורה \ R(s)= {R_0 \over s^{k+1}} נקבל:

\ e_{ss}= \lim_{s\to 0} s\bar{E}(s)= \lim_{s\to 0} {sR(s)\over 1+\bar{G}(s)} =\lim_{s\to 0} {R_0 \over s^k(1+\bar{G}(s))} \overbrace{=}^{k>0} {R_0\over \lim\limits_{s\to 0} s^k\bar{G}(s)}

שימו לב כי מציבים באות הכניסה k+1 על מנת שלאחר הצמצום עם ה-s הנובע ממשפט הערך הסופי, נישאר עם k אשר מייצג את סדר המערכת.

[עריכה] כניסת מדרגה (step)

Blue think.svg סוג המערכת נקבע לפי \ \bar{G}!


כניסת מדרגה: \ (k=0)\quad R(t)=R_0u(t)\ \Rightarrow\ R(s)={R_0 \over s}.

  • למערכת מסוג k=0 מתקיים: \ K_s\equiv\lim_{s\to 0} \bar{G}(s)=const\ \Rightarrow\ e_{ss}^s= {R_0 \over 1+K_s}
(למערכת מסוג k=0, שגיאה במצב המתמיד היא קבועה רק כאשר ל-\ \bar{G} יש ערך סופי, כלומר אין קוטב בראשית).
  • שגיאת המצב המתמיד של מערכת מסוג k=0, בעת כניסת מדרגה, ניתנת להפחתה על ידי הגדלת Ks.
  • אם בעת תכנון הבקר \ \bar{G} ידוע שאין לחרוג משגיאה מותרת \ e_{ss} כלשהי, התנאי על Ks יהיה: \ K_s={R_0-e_{ss}\over e_{ss}}.
  • עבור מערכת מסוג k>0 מתקיים \ K_s=\lim_{s\to 0} \bar{G}(s) \to\infty ולכן השגיאה במצב המתמיד \ e_{ss}^s=0. כלומר במערכת מסדר k>0, כניסת מדרגה לעולם לא תתן שגיאה במצב המתמיד.

[עריכה] דוגמאות

  • עבור \ \bar{G}(s)= {3\over 1+s} מתקבל \ K_s=3
  • עבור \ \bar{G}(s)={s+2\over (s+3)(s+4)} מתקבל \ K_s={1\over 6}

[עריכה] כניסת ריצה (ramp)

כניסת ריצה: \ (k=1)\quad R(t)=R_0tu(t)\ \Rightarrow\ R(s)={R_0 \over s^2}.

  • למערכת מסוג k=0 מתקיים \ \lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)=0 ולכן שגיאת המצב המתמיד לכניסת ריצה היא אינסוף.
  • למערכת מסוג k=1 מתקיים: \ K_r\equiv\lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)=const\ \Rightarrow\ e_{ss}^r= {R_0 \over K_r}.
  • עבור מערכת מסוג מסוג k>1 השגיאה במצב המתמיד: \ \lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)=\infty\ \Rightarrow\ e_{ss}^r=0

[עריכה] כניסת תאוצה (acceleration)

כניסת תאוצה: \ (k=2)\quad R(t)={R_0\over 2}t^2u(t)\ \Rightarrow\ R(s)={R_0 \over s^3}. בדומה,

  • עבור מערכת מסוג k<2 מתקבל: \ \lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)=0\ \Rightarrow\ e_{ss}^a=\infty
  • עבור מערת מסוג k=2 מתקבל: \ K_a\equiv\lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)=const\ \Rightarrow\ e_{ss}^a={K \over K_a}
  • עבור מערכת מסוג k>2 מתקבל: \ \lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)=\infty\ \Rightarrow\ e_{ss}^a=0

[עריכה] סיכום

\ K_s\equiv K_0=\lim_{s\to 0} \bar{G}(s)
\ K_r\equiv K_1=\lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)
\ K_a\equiv K_2=\lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)
סוג \ e_{ss}^a \ e_{ss}^r \ e_{ss}^s Ka Kr Ks
0 \ \infty \ \infty \ R_0 \over 1+K_s 0 0 Ks
1 \ \infty \ R_0 \over K_r 0 0 Kr \ \infty
2 \ R_0 \over K_a 0 0 Ka \ \infty \ \infty
3 0 0 0 \ \infty \ \infty \ \infty

[עריכה] הערות

  1. ↑ אנו מניחים כי המידע על האות a מגיע מיד לכל חלקי המערכת, כלומר מזניחים את הזמן אשר לוקח להפרעה להתפשט ב"מרחב".
  2. ↑ משפט הערך הסופי תקף אך ורק כאשר קטבי פונקצית התמסורת של כל המערכת הינם ב-OLHP ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית.

מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%91%D7%A7%D7%A8%D7%94/%D7%9E%D7%A7%D7%93%D7%9E%D7%99_%D7%A9%D7%92%D7%99%D7%90%D7%94_%D7%A1%D7%98%D7%98%D7%99%D7%99%D7%9D