פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 6

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] דוגמה לעקרון אי-הוודאות של הייזנברג

ניקח גל מישורי סטנדרטי: $\ y \left( x,t \right) = A \cdot \cos \left( \omega t-kx \right) = A \cdot Re \left( e^{-i \left ( kx-\omega t \right) } \right)$
נגדיר: $\ \tilde {\bar y} (x,t) = A \cdot e^{-i\left( kx-\omega t \right) }$ - זהו גל מישורי יחיד עם מספר גל $\ k$ . נזכור שמתקיים: $\ k= \frac{2\pi}{\lambda}$ , כלומר לגל זה ישנה תדירות מסויימת ויחידה.
יהא כעת $\ k \in [k_1,k_2]$ , ונרצה להרכיב מספר אינסופי של גלים מישוריים בעלי רצף התדירויות הנ"ל. נבנה זאת באופן הבא: $\ \bar y (x,t) = \frac{A}{k_2-k_1} \underbrace{\int\limits^{k_1}_{k_2} dk}_{*} \cdot \underbrace{e^{i \left( kx-\omega t\right)}}_{**}$ , (כאשר $\ *$ = סכימה על רצף תדירויות ו- $\ **$ = עבור תדירות מסויימת)
$\ \Rightarrow \bar y (x,t) = \frac{A}{k_2-k_1} \cdot e^{-i \omega t} \int\limits^{k_1}_{k_2} dk \cdot e^{ikx} =$ $\ = \frac{A}{k_2-k_1} \cdot e^{-i\omega t} \cdot \frac{1}{ix} \left( e^{ik_2x}-e^{ik_1x}\right) =$ $\ = \frac{A\cdot e^{i\omega t}}{k_2-k_1} \frac{1}{ix} e^{i\left( \frac{k_1+k_2}{2}\right) x}\underbrace{ \left(e^{i \frac{k_2-k_1}{2}x}-e^{-i \frac{k_2-k_1}{2}x}\right)}_{*}$
מתקיים: $\ * = \left(e^{i \frac{k_2-k_1}{2}x}-e^{-i \frac{k_2-k_1}{2}x}\right) = 2i \sin \left( \frac{k_2-k_1}{2} \right)$ . נסמן: $\ \Delta K = k_2-k_1$ , ונקבל: $\ \bar y (x,t) = A \cdot e^{-i \omega t} e^{\frac{i\left(k_1+k_2\right)}{2}x} \frac{\sin\left( \frac{1}{2} \Delta k x\right)}{\frac{1}{2} \Delta k x}$ $\ \Rightarrow y(x,t) = Re \left( \hat y(x,t) \right) = \frac{\sin\left( \frac{1}{2} \Delta k x\right)}{\frac{1}{2} \Delta k x} \cdot \cos \left( \frac{k_1+k_2}{2}x -\omega t \right)$ .
וכל מי שאי פעם למד גלים יודע שגרף הפונקציה נראה כך:
נסמן: $\ x_2- x_1 = \Delta x$ ., ונרצה ללמוד משהו על הקשר בינו לבין $\ \Delta k$ (שהוא, כזכור, טווח בתדירויות שלנו). לשם כך, נבדוק מתי הסינוס מתאפס:
$\ \sin\left( \frac{1}{2} \Delta k x\right) =0$ $\ \frac{1}{2} \Delta k x = n \pi \Leftarrow$ עבור $\ n \in \mathbb{Z}$ מסויים.
נתבונן בגרף: עבור הנקודה $\ x_1$ , מתקיים: $\ \frac{1}{2} \Delta k x_1 = -\pi$ , ואילו עבור הנקודה $\ x_2$ , מתקיים: $\ \frac{1}{2} \Delta k x_2 = +\pi$ . נחסר את שני אלה, ונקבל: $\ \frac{1}{2} \Delta k \Delta x = 2 \pi\Leftarrow \frac{1}{2} \Delta k \left( x_2-x_1 \right) = 2 \pi$

וקיבלנו:

$\ \Delta x \Delta k = 4 \pi$

כלומר: אם נרצה לקבל $\ \Delta x$ יותר גדול, יהא עלינו לקחת $\ \Delta k$ יותר קטן, ולהיפך. זוהי דוגמא לעיקרון אי-הוודאות, ויותר מאוחר נראה את הקשר בין עקרון זה לבין התמרת פוריה.

[עריכה] הרכבה של גלים מישוריים (באופן כללי)

כאמור, אסכמת (אינטגרל) של גלים מישוריים בתחום התדרים $\ \left[ k_1,k_2 \right]$ תראה כך: $\ \psi (x,t) = \frac{A}{k_1-k_2} \int\limits^{k_2}_{k_1}dk \cdot e^{i \left( kx-\omega t \right) }$ . מדובר בהרכבה (סופרפוזיציה, צירוף לינארי), כאשר לכל $\ k \in \left[ k_1,k_2\right]$ המקדם של הפונקציה הוא $\ \frac{A}{k_2-k_1}$ .
כעת: לכל $\ k \in \left( - \infty ,\infty \right)$ נתאים מקדם $\ g \left( k \right)$ כלשהו. $\ g \left( k \right)$ שונה מ- $\ k$ ל- $\ k$ , והוא מהווה פונקצית משקל עבור הגל בעל המאפיין $\ k$ . במילים אחרות, $\ g \left( k \right)$ הוא המקדם של האיבר ה- $\ k$ -י, כפי שהוסבר בתחילת ההרצאה הקודמת.
נרחיב כעת את גבולות האינטגרל לכל הישר הממשי, ומקדם הנרמול שלנו (המקדם שלפני האינטגרל - יותר מאוחר נראה מדוע הוא נקרא "מקדם נרמול") יהיה $\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ . ואז חבורת הגלים שלנו תהיה: $\ \psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int\limits^\infty _{-\infty } dk \cdot g(k) \cdot e ^{i \left( kx-\omega t \right)}$ .
נציב $\ t=o$ , ונקבל: $\ \psi (x, t=0) = \psi (x,0) - \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int\limits^\infty _{-\infty } dk \cdot g(k) \cdot e ^{ikx}$
בעזרת התמרת פוריה, נוכל להסיק מכאן כי: $\ g\left( k \right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int\limits^\infty_{-\infty } dx \cdot \psi (x,0) e^{-ikx}$ .

[עריכה] ניתוח החבורה

הפונקציה $\ \psi (x,0)$ היא, כאמור, הרכבה של גלים מישוריים. לכן, קיימת תופעת התאבכות ,ונרצה לחקור אותה. על מנת לעשות זאת, נחפש את המקסימום של הפונקציה.
נניח שהפונקציה $\ g(k)$ היא גאוסיאנית. ואז, נוכל לכתוב אותה באופן הבא: $\ g(k) = \left| g(k) \right| \cdot e^{i \alpha (k) }$ .
באופן כללי יתכן גם ש- $\ \Delta k = \infty$ , אבל כרגע נניח שהוא קטן מספיק. אם כן, נוכל לקרב את הפאזה של $\ g(k)$ באמצעות טור טיילור באופן הבא: $\ \alpha (k) \simeq \alpha \left( k_0 \right) + \underbrace {\left( k-k_0 \right)} _{=\Delta k} \left. \left( \frac{\partial \alpha}{\partial k} \right) \right| _{k=k_0} + ...(*)$ , כאשר * = איברים שניתן להזניח.

$\ \Rightarrow \psi \left( x,0 \right) \simeq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \limits^\infty_{-\infty } dk \left| g \left( k \right) \right| e^{i\left( \alpha \left( k_0 \right) + \left( k- k_o \right) \left. \left( \frac{\partial \alpha}{\partial k} \right) \right| _{k=k_0} \right) } e^{ikx}$

נסמן: $\ x_0 \equiv -\left. \left( \frac{\partial \alpha}{\partial k} \right) \right| _{k=k_0}$ .אז נקבל:

$\ \psi \left( x,0 \right) \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + \left( k- k_0 \right) x_0 +kx \right) } =$

$\ = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + k x_0 - k_0 x_0 +kx \right) } =$

$\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + k x_0 - k_0 x_0 +kx +k_0 x - k_0 x \right) } =$

$\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( \alpha \left( k_0 \right) + k_0 x \right) + i \left( k x_0 -k_0 x_0 + kx - k_0x \right) }$

כעת: נשים לב ש- $\ \alpha \left( k_0 \right)$ הוא מספר, וש- $\ k_0 x$ לא תלוי ב- k - כלומר אפשר להוציא אותו מחוץ לאסכמת. ונקבל:

$\ \psi \left( x,0 \right) = \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^ {i \alpha \left( k_0 \right) + k_0 x } \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( k - k_0 \right) \left( x - x_0 \right) }$

נסמן: $\ A = \int \limits^\infty_{-\infty} dk \left| g \left( k \right) \right| e^ {i \left( k - k_0 \right) \left( x - x_0 \right) }$ , ונרצה לחקור את ההתנהגות של A.

ההרצאה הקודמת:
הרצאה מספר 5

עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 7

פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 6

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] דוגמה לעקרון אי-הוודאות של הייזנברג

[עריכה] הרכבה של גלים מישוריים (באופן כללי)

[עריכה] ניתוח החבורה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא