פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 5

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 חבורת גלים
2 התפתחות בזמן של חבורת גלים
- 2.1 ניתוח התוצאה

[עריכה] חבורת גלים

[עריכה] הקדמה אלגברית

ניזכר באלגברה לינארית: כל איבר במרחב וקטורי ניתן לייצוג על ידי צירוף לינארי של איברי בסיס של המרחב. נניח שאיברי הבסיס עמו אנו עובדים הם $\ \left\{ v_i \right\} _{i=1}^N$ , הרי שצירוף לינארי שלהם ייראה כך: $\ \sum_{i=1}^{N} \alpha _i v_i$ , כאשר $\ \left\{ \alpha _i \right\} _{i=1}^N$ סקלרים.

כאשר יש לנו מרחב ממימד N) N סופי או אינסופי, אבל בר מניה), נוכל לכתוב את הצירוף הלינארי כסכום כלשהו, למשל: $\ \sum _{n \in N} \alpha _n v_n$ . אבל, מה קורה כאשר המימד של המרחב הוא רצף? כיצד נכתוב צירוף לינארי במקרה הזה?
נניח שיש לנו בסיס במימד רצף, כלומר איברי הבסיס הם $\ \left\{ v(p,x) \right\}$ כאשר $\ p$ שייך לאינטרוול כלשהו $\ I$ (שיכול להיות גם כל הישר). שימו לב, שכאן לא מדובר בתלות ב-p אלא האות p מבטאת אינדקס, ממש כמו האות $\ i$ באיבר הבסיס $\ v_i$ (שמסמן איבר בסיס עבור מימד סופי).

במקרה כזה, כמו בכל מקרה של מעבר מבדיד לרצף, הסכום הופך לאינטגרל. לכן, צירוף לינארי של איברי הבסיס במקרה שלנו ייראה כך: $\ \int _{p \in I} \alpha (p) v(p,x) dp$ . שימו לב, שתוצאת האינטגרל הזו נותנת לנו וקטור שתלוי במשתנה (x), כלומר וקטור במרחב שלנו.

[עריכה] הקשר לפיזיקה קוונטית ולפונקצית גל

נתבונן בגל מישורי בעל מספר גל $\ k$ מסויים. כידוע, מספר זה מקיים: $\ k= \frac{2\pi}{\lambda}$ , והוא ממשי. ראינו שמתקיים: $\ \vec p = \hbar \vec k$ , לכן גם $\ p$ מייצג את מספר הגל.
בדומה למה שראינו קודם, גל מישורי כללי במימד אחד בעל קבוע $\ k$ ניתן לתיאור באמצעות: $\ e^{\frac{i}{\hbar} \left( -\frac{p^2}{2m}t +px \right) }$ .
על מנת לתאר גל כללי במרחב עלינו לבצע, אם כן, סופרפוזיציה (ס"פ, הרכבה, צירוף לינארי) של גלים בעלי מספרי $\ k$ שונים. במקרה הכללי, יש לנו רצף של מספרים כאלה. לכן, גל כללי, המורכב מס"פ של גלים מישוריים, ייראה כך: $\ \psi \left( x,t \right) = \int _{-\infty}^{\infty} g(p) e^{\frac{i}{\hbar} \left( -\frac{p^2}{2m} t +px \right)} \cdot dp$ כאשר $\ g(p)$ הינו המקדם (או "המשקל") המתאים לכל $\ p$ .

[עריכה] התפשטות של חבורת גלים

ברגע $\ t=0$ מכינים חבורת גלים: $\ \psi \left( x,t=0 \right) = \int dp \ g(p) \cdot e^{\frac{i}{\hbar} px}$
אנו מניחים שהפונקציה $\ g(p)$ היא גאוסיאן. כזכור, בהסתברות גאוסיאן הוא מהצורה: $\ \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\left( x- \mu \right) ^2}{2 \sigma ^2 }}$ , כאשר $\ \mu$ מסמל את הממוצע ו- $\ \sigma$ את סטיית התקן. במקרה שלנו, ניקח גאוסיאן כללי, כלומר מהצורה $\ A e^{-\alpha \left( p-p_0 \right) ^2}$ . לכן, חבורת הגלים שלנו תיראה כך:
$\ \int dp \ g(p) \cdot e^{\frac{i}{\hbar} px} = \int dp \ A e^{-\alpha \left( p-p_0 \right) ^2} \cdot e^{\frac{i}{\hbar} px} = A \int e^{-\alpha \left( p-p_0 \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} px}$

נסמן: $\ p' = p-p_0$ , כך שמתקיים: $\ p=p_0+p'$ . ואז, ברגע $\ t=0$ , חבורת הגלים שלנו תיראה כך:
$\ \psi \left( x,t=0 \right) = A \int _{- \infty} ^{\infty} dp' \ e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} \left( p_0 + p' \right) x} =$ $= A \int _{- \infty} ^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} p_0x + \frac{i}{\hbar} p'x } = A e^{ \frac{i}{\hbar} p_0x} \int _{- \infty} ^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2} e^{ \frac{i}{\hbar} p'x } =$

$\ = A e^{ \frac{i}{\hbar} p_0x} \int _{- \infty} ^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2} \left[ \cos \left( \frac{p'x}{\hbar} \right) +i \sin \left( \frac{p'x}{\hbar} \right) \right] =$

$\ = A e^{ \frac{i}{\hbar} p_0x} \left[ \int _{- \infty} ^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2} \cos \left( \frac{p'x}{\hbar} \right) + i \int _{- \infty} ^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2} \sin \left( \frac{p'x}{\hbar} \right) \right] =$

$\ = A \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} e^{\frac{i}{\hbar} p_ox} e^{-\frac{x^2}{4 \alpha \hbar}}$

[עריכה] התפתחות בזמן של חבורת גלים

עד כה דנו בגל, או יותר נכון - בחבורת גלים, ברגע $\ t=0$ . כעת, נתבונן בהתנהגות החבורה בזמן $\ t$ כלשהו, כלומר בהתפתחות שלה בזמן:
באופן כללי:
$\ = \psi \left( x, t=0 \right) \cdot e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}t}$ (התפתחות בזמן) $\ \psi (x,t) = \psi \left( x, t=0 \right) \times$

$\ = A \int _{-\infty}^{\infty} dp \cdot e^{-\alpha \left( p-p_0\right) ^2 + \frac{i}{\hbar} px - \frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}t}$

נציב שוב $\ p' = p-p_0$ , כך ששוב יתקיים: $\ p=p_0+p'$ . נקבל:

$\ \psi (x,t) = A \cdot \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} p_0x + \frac{i}{\hbar} p'x - \frac{i}{\hbar} \frac{\left( p_0 +p' \right) ^2}{2m} t} =$

$\ = A \cdot \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} p_0x + \frac{i}{\hbar} p'x - \frac{i}{\hbar} \frac{ p_0^2 +2p_0p' + p'^2 }{2m}t} =$

$\ = A \cdot \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\alpha \left( p' \right) ^2 + \frac{i}{\hbar} p_0x + \frac{i}{\hbar} p'x - \frac{i}{\hbar}\frac{p_0^2}{2m}t - \frac{i}{\hbar}\frac{p_0p'}{m}t - \frac{i}{\hbar}\frac{p'^2}{2m}t } =$

$\ = A e^{\frac{i}{\hbar} p_0x - \frac{i}{\hbar} \frac{p_0^2}{2m}t} + \int _{-\infty}^{\infty} dp' e^{-\left( \alpha + \frac{t}{2m \hbar} \right) p'^2 + \frac{i}{\hbar} \left(x-\frac{p_0t}{m} \right) p'}$

קיבלנו שוב אינטגרל מהצורה $\ e^{\beta (p')^2 + \gamma p' }$ , אלא שהפעם: $\ \gamma = x-\frac{p_0}{m}t, \ \ \beta = \alpha + \frac{i}{2m\hbar}t$ .
נסמן לכן: $\ V_0 = \frac{p_o}{m}, \ \beta _0 = \frac{1}{2m\hbar}$ . נקבל:
$\ \psi \left( x, t \right) = A e^{ \frac{i}{\hbar} \left( p_0x - \frac{p_0^2}{2m}t \right) } \sqrt{\frac{\pi}{\alpha + i \beta _0 t}} \cdot e^{\frac{- \left(x-v_0t \right)}{4 \left( \alpha + i\beta _0t \right) \hbar ^2 }}$

[עריכה] ניתוח התוצאה

נשים לב שהאקספוננט השני שהתקבל, כלומר ה- $\ {\frac{- \left(x-v_0t \right)}{4 \left( \alpha + i\beta _0t \right) \hbar ^2 }}$ , הוא בצורת גאוסיאן. ניזכר שוב במתמטיקה של הגאוסיאן: נזכור שהמונה קובע את רוחב הגאוסיאן, ואילו המכנה קובע את רוחבו.

עבור $\ e^{-\frac{x^2}{A}}$ נקבל גאוסיאן ברוחב $\ \sqrt{A}$ . במקרה שלנו, המכנה גדל עם הזמן, לכן עם הזמן גם הגאוסיאן של חבילת הגלים מתרחב. במילים אחרות, רוחב החבילה גדל.
גם המונה גדל עם הזמן - כלומר, מדובר בחבילת גלים שלא רק מתרחבת, אלא גם נעה - מסקנה מתבקשת כשמדובר בחבורת גלים.

הסתברות: כזכור, פונקצית הגל מבטאת הסתברות, או יותר נכון - פונקצית הגל בריבוע. נזכור שעבור מספר מרוכב $\ a+ib$ מתקיים: $\ \left| a+ib \right| ^2 = a^2 + b^2$ .
נקבל:

$\ \left| \psi \left( x,t, \right) \right| ^2 = A^2 \left( \frac{\pi ^2}{\alpha ^2 + \beta _0^2t^2} \right) ^{\frac{1}{2}} \cdot \left| \exp \left\{ - \frac{\left( x-v_0t \right) ^2}{4 \left( \alpha + i \beta _0 t \right) \hbar ^2} \right\} \right| ^2$
תזכורת עבור העלאת האקספוננט בריבוע: עבור $\ \gamma = a + ib$ , מתקיים:
$\ \left| e^\gamma \right| ^2 = e^\gamma \cdot e^{\gamma ^*} = e^{a+ib}e^{a-ib}=e^{2a}$ . לכן, במקרה שלנו, נקבל:
$\ \left| \psi \left( x,t, \right) \right| ^2 =A^2 \frac{\pi}{\left( \alpha ^2 + \beta _0 ^2 t^2 \right) ^{\frac{1}{2}}} \cdot \exp \left\{ - \frac{\alpha \left( x-v_0t \right) ^2}{2 \left( \alpha ^2 + \beta_0 ^2 t^2 \right) \hbar ^2 } \right\}$

נסמן: $\ \Delta x (t)$ = רוחב הגאוסיאן בזמן $\ t$ . ולפי התזכורת שרשמנו למעלה לגבי גודל זה, נקבל שמתקיים: $\ \Delta x (t) \simeq \hbar \sqrt{\frac{ \alpha ^2 + \beta _0 ^2t^2}{\alpha}}$ .
נציב את $\ \beta _0 = \frac{1}{2m \hbar}$ , ונקבל:
$\ \Delta x(t) = \hbar \frac{\alpha ^2 + \frac{t^2}{2m\hbar}}{\alpha} = \hbar \left( \frac{\alpha ^2}{\alpha} + \frac{t^2}{2m\hbar\alpha} \right) = \hbar \left( \alpha + \frac{t^2}{2m\hbar\alpha} \right)$ . נציב כעת $\ t=0$ , ונקבל: $\ \Delta x (0) = \alpha$ . ומכאן:
$\ \frac{\Delta x (t)}{\Delta x (0)} = \frac{\hbar \left( \alpha + \frac{t^2}{2m\hbar\alpha} \right)}{\alpha} = \left[ 1 + \left( \frac{t}{2m \hbar \alpha} \right) ^2 \right] ^{\frac{1}{2}}$