פיזיקה תיכונית/מכניקה/קינמטיקה/משוואות התנועה

כדאי לעיין כאן לפני תחילת הקריאה.

להלן פיתוח מתמטי של משוואות התנועה כאשר התנועה היא תנועה שוות תאוצה.

משוואה ראשונה

גרף של תאוצה כפונקציה של הזמן, השטח שנוצר מתחת לגרף הנו מלבן. $a$ משמאל לגרף הנו פרמטר וכך גם $t$ מתחת לגרף

השטח מתחת לגרף (שטח של מלבן: מכפלת הגובה ברוחב), בין ראשית הצירים ל-$t$ , הוא $\Delta v$ ושווה למכפלת התאוצה $a$ בזמן $t$ . כלומר:

$\Delta v=at$

כן ידוע כי $\Delta v$ הנו הפרש המהירות בין נקודת המדידה $v_{t}$ לבין תחילת התנועה $v_{0}$ . כך ש:

$\Delta v=v_{t}-v_{0}$

נשווה:

$at=v_{t}-v_{0}$

נסדר קצת:

^(א)$v_{t}=v_{0}+at$

משוואות שניה ושלישית

שתי המשוואות מתבססות על שטח הכלוא מתחת לגרף הבא:

מהירות כפונקציה של זמן, השטח הנוצר מתחת לגרף הנו טרפז. $v_{0}$ המהירות בתחילת התנועה, $t$ פרמטר

נחשב את השטח הכלוא מתחת לגרף (שטח של טרפז: מחצית מכפלת סכום הבסיסים בגובה), בין ראשית הצירים ל-$t$ , הנו:

$\Delta x={\frac {(v_{0}+v_{t})t}{2}}$

משוואה שניה

ידוע כי $\Delta x$ הנו הפרש ההעתקים בין נקודת המדידה $x_{t}$ לנקודת תחילת התנועה $x_{0}$ . כלומר:

$\Delta x=x_{t}-x_{0}$

נציב:

${\begin{aligned}x_{t}-x_{0}={\frac {t(v_{0}+v_{t})}{2}}\\x_{t}=x_{0}+{\frac {t(v_{0}+v_{t})}{2}}\end{aligned}}$

נציב את משוואה א:

$x_{t}=x_{0}+{\frac {t(v_{0}+v_{0}+at)}{2}}$

נסדר:

^(ב)$x_{t}=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$

משוואה זאת קושרת בין ההעתק והמהירות שהיו לגוף בתחילת תנועתו, תאוצתו של הגוף, הזמן שעבר מתחילת התנועה, וההעתק של הגוף מתחילת התנועה. העובדה שרוב הגדלים בה הם גדלים הנוגעים לתחילת תנועתו של הגוף (או לכל התנועה) הופכת משוואה זאת למשוואה שימושית במיוחד.

בנוסף, ניתן להבחין כי המשוואה השניה היא למעשה אינטגרל של המשוואה הראשונה לפי זמן.

משוואה שלישית

נחזור למשוואה המתארת את העתק הגוף כשטח מתחת לגרף המהירות:

$x_{t}-x_{0}={\frac {t(v_{0}+v_{t})}{2}}$

נציב במשוואה זאת את $t={\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}$ כפי שנובע מהמשוואה הראשונה:

$x_{t}-x_{0}={\frac {(v_{0}+v_{t})}{2}}\cdot {\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}$

נסדר:

^(ג)$v_{t}^{2}=v_{0}^{2}+2a(x_{t}-x_{0})$

יחודה של משוואה זאת נובע מכך שאין היא כוללת בתוכה זמן, כך שהיא קושרת בין תאוצתו של גוף ושני מצבים שבהם הוא נמצא, בלי התייחסות לזמן שעבר ביניהם.

תנועה שוות מהירות

מקרה פרטי למשוואות התנועה הנ"ל הוא תנועה שוות מהירות, המשוואה נראית כך:

$x=x_{0}+v\!\cdot \!\Delta t$

הפרק הקודם:	משוואות התנועה	הפרק הבא:
מושגים בסיסיים בקינמטיקה	תרגילים	נפילה חופשית וזריקה אופקית