כדאי לעיין כאן לפני תחילת הקריאה.
להלן פיתוח מתמטי של משוואות התנועה כאשר התנועה היא תנועה שוות תאוצה .
משוואה ראשונה [ עריכה ] גרף של תאוצה כפונקציה של הזמן, השטח שנוצר מתחת לגרף הנו מלבן.
a
{\displaystyle a}
t
{\displaystyle t}
השטח מתחת לגרף (שטח של מלבן: מכפלת הגובה ברוחב), בין ראשית הצירים ל-
t
{\displaystyle t}
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
a
{\displaystyle a}
t
{\displaystyle t}
Δ
v
=
a
t
{\displaystyle \Delta v=at}
כן ידוע כי
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
v
t
{\displaystyle v_{t}}
v
0
{\displaystyle v_{0}}
Δ
v
=
v
t
−
v
0
{\displaystyle \Delta v=v_{t}-v_{0}}
נשווה:
a
t
=
v
t
−
v
0
{\displaystyle at=v_{t}-v_{0}}
נסדר קצת:
(א)
v
t
=
v
0
+
a
t
{\displaystyle v_{t}=v_{0}+at}
משוואות שניה ושלישית [ עריכה ] שתי המשוואות מתבססות על שטח הכלוא מתחת לגרף הבא:
מהירות כפונקציה של זמן, השטח הנוצר מתחת לגרף הנו טרפז.
v
0
{\displaystyle v_{0}}
t
{\displaystyle t}
נחשב את השטח הכלוא מתחת לגרף (שטח של טרפז: מחצית מכפלת סכום הבסיסים בגובה), בין ראשית הצירים ל-
t
{\displaystyle t}
Δ
x
=
(
v
0
+
v
t
)
t
2
{\displaystyle \Delta x={\frac {(v_{0}+v_{t})t}{2}}}
משוואה שניה [ עריכה ] ידוע כי
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
x
t
{\displaystyle x_{t}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Δ
x
=
x
t
−
x
0
{\displaystyle \Delta x=x_{t}-x_{0}}
נציב:
x
t
−
x
0
=
t
(
v
0
+
v
t
)
2
x
t
=
x
0
+
t
(
v
0
+
v
t
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}-x_{0}={\frac {t(v_{0}+v_{t})}{2}}\\x_{t}=x_{0}+{\frac {t(v_{0}+v_{t})}{2}}\end{aligned}}}
נציב את משוואה א:
x
t
=
x
0
+
t
(
v
0
+
v
0
+
a
t
)
2
{\displaystyle x_{t}=x_{0}+{\frac {t(v_{0}+v_{0}+at)}{2}}}
נסדר:
(ב)
x
t
=
x
0
+
v
0
t
+
a
t
2
2
{\displaystyle x_{t}=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}}
משוואה זאת קושרת בין ההעתק והמהירות שהיו לגוף בתחילת תנועתו, תאוצתו של הגוף, הזמן שעבר מתחילת התנועה, וההעתק של הגוף מתחילת התנועה. העובדה שרוב הגדלים בה הם גדלים הנוגעים לתחילת תנועתו של הגוף (או לכל התנועה) הופכת משוואה זאת למשוואה שימושית במיוחד.
בנוסף, ניתן להבחין כי המשוואה השניה היא למעשה אינטגרל של המשוואה הראשונה לפי זמן.
משוואה שלישית [ עריכה ] נחזור למשוואה המתארת את העתק הגוף כשטח מתחת לגרף המהירות:
x
t
−
x
0
=
t
(
v
0
+
v
t
)
2
{\displaystyle x_{t}-x_{0}={\frac {t(v_{0}+v_{t})}{2}}}
נציב במשוואה זאת את
t
=
v
t
−
v
0
a
{\displaystyle t={\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}}
x
t
−
x
0
=
(
v
0
+
v
t
)
2
⋅
v
t
−
v
0
a
{\displaystyle x_{t}-x_{0}={\frac {(v_{0}+v_{t})}{2}}\cdot {\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}}
נסדר:
(ג)
v
t
2
=
v
0
2
+
2
a
(
x
t
−
x
0
)
{\displaystyle v_{t}^{2}=v_{0}^{2}+2a(x_{t}-x_{0})}
יחודה של משוואה זאת נובע מכך שאין היא כוללת בתוכה זמן, כך שהיא קושרת בין תאוצתו של גוף ושני מצבים שבהם הוא נמצא, בלי התייחסות לזמן שעבר ביניהם.
תנועה שוות מהירות [ עריכה ] מקרה פרטי למשוואות התנועה הנ"ל הוא תנועה שוות מהירות, המשוואה נראית כך:
x
=
x
0
+
v
⋅
Δ
t
{\displaystyle x=x_{0}+v\!\cdot \!\Delta t}
