פיזיקה תיכונית/מכניקה/קינמטיקה/משוואות התנועה

מתוך ויקיספר
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כדאי לעיין כאן לפני תחילת הקריאה.

להלן פיתוח מתמטי של משוואות התנועה כאשר התנועה היא תנועה שוות תאוצה.

משוואה ראשונה[עריכה]

גרף של תאוצה כפונקציה של הזמן, השטח שנוצר מתחת לגרף הינו מלבן. a משמאל לגרף הינו פרמטר וכך גם t מתחת לגרף.



השטח מתחת לגרף (שטח של מלבן: מכפלת הגובה ברוחב), בין ראשית הצירים ל-t, הוא \Delta v והוא שווה למכפלה של התאוצה (a) בזמן (t). כלומר:

\Delta v=a \cdot t כן ידוע ש- \Delta v הינו הפרש המהירות בין נקודת המדידה (v_t) לבין תחילת התנועה (v_0) . כך ש:

\Delta v = v_t - v_0

נשווה:

a \cdot t =v_t - v_0

נסדר קצת:

(א) v_t = v_0 + a \cdot t \,\!

משוואות שנייה ושלישית[עריכה]

שתי המשוואות מתבססות על שטח הכלוא מתחת לגרף הבא:

מהירות כפונקציה של זמן, השטח שנוצר מתחת לגרף הינו טרפז. v_0 היא המהירות בתחילת התנועה ו-t הינו פרמטר.


נחשב את השטח הכלוא מתחת לגרף (שטח של טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה חלקי שתיים), בין ראשית הצירים ל-t, הינו:

\Delta x=\frac{(v_0+v_t)t}{2}

משוואה שנייה[עריכה]

ידוע ש- \Delta x הינו הפרש ההעתקים בין נקודת המדידה (x_t) לנקודת תחילת התנועה (x_0). כלומר:

\Delta x=x_t - x_0

נציב:

x_t - x_0=\frac{(v_0+v_t)t}{2}

נסדר:

x_t = x_0 + \frac{(v_0+v_t)t}{2}

נציב את משוואה א:

x_t=x_0+ \frac{(v_0+v_0+at)t}{2}

נסדר:

(ב) x_t=x_0+v_0 t+\frac{1}{2}at^2

משוואה זאת קושרת בין ההעתק והמהירות שהיו לגוף בתחילת תנועתו, תאוצתו של הגוף, הזמן שעבר מתחילת התנועה, וההעתק של הגוף מתחילת התנועה. העובדה שרוב הגדלים בה הם גדלים הנוגעים לתחילת תנועתו של הגוף (או לכל התנועה) הופכת משוואה זאת למשוואה שימושית במיוחד. בנוסף, ניתן להבחין כי המשוואה השנייה היא למעשה אניטגרל של המשוואה הראשונה לפי זמן.

משוואה שלישית[עריכה]

נחזור למשוואה המתארת את העתק הגוף כשטח מתחת לגרף המהירות:

x_t-x_0=\frac{(v_0+v_t)t}{2}

נציב במשוואה זאת את t=\frac{v_t-v_0}{a} כפי שנובע מהמשוואה הראשונה:

x_t-x_0=\frac{(v_0+v_t)}{2}  \cdot \frac{v_t-v_0}{a}

נסדר:

(ג)v_t^2=v_0^2+2a(x_t-x_0)

יחודה של משוואה זאת נובע מכך שאין היא כוללת בתוכה זמן, כך שהיא קושרת בין תאוצתו של גוף ושני מצבים שבהם הוא נמצא, בלי התייחסות לזמן שעבר ביניהם.

תנועה שוות מהירות[עריכה]

מקרה פרטי למשוואות התנועה הנ"ל הוא תנועה שוות מהירות, המשוואה נראית כך:

\Delta x =x_0 + v\cdot \Delta t


הפרק הקודם: משוואות התנועה הפרק הבא:
מושגים בסיסיים בקינמטיקה תרגילים נפילה חופשית וזריקה אופקית