פיזיקה תיכונית/מכניקה/קינמטיקה/מושגים

הגדרת מושגים בקינמטיקה

קינמטיקה הוא תורת התנועה, דהיינו תחום שעוסק בתיאור התנועה של גופים. כדי שנוכל לתאר את תנועתו של גוף יש להסכים על כמה הגדרות:

נקודת תחילת המדידה: הנקודה בה התחלנו לעקוב אחר תנועתו של הגוף. כל מה שקרה לגוף לפני נקודה זו אינו חשוב ובלבד שכשהגיע לנקודה זו הוא עדיין קיים. נקודה זו נקראת לעתים נקודת האפס, נקודת תחילת התנועה ובגראפים לעתים תהא נקודה זו ראשית הצירים.
כיוון התנועה: לאיזה כיוון נע הגוף המדובר? אם נגדיר מערכת צירים כאשר הגוף ממוקם, בנקודת תחילת התנועה, בראשית הצירים, הרי שהגוף יכול לנוע ימינה, שמאלה, למעלה או למטה וכן שילוב של כל אחד מהכיוונים. כדי להקל על תיאור תנועת הגוף כיוון התנועה יהיה הכיוון החיובי של הצירים. כך שאם גוף נע שמאלה כיוון הציר האופקי החיובי יהיה שמאלה.
יחידת המדידה: יחידות המדידה בהן נשתמש יהיו המטר (m) והשנייה (s). בהמשך הספר, בפרק העוסק בדינמיקה נשתמש בקילוגרמים למדידת מסות של גופים.

תיאור תנועתו של גוף

במכניקה בכלל ובקינמטיקה בפרט ישנם שני סוגי גדלים פיזיקליים (להזכירך: גודל פיזיקלי הוא כל מה שניתן למדוד בניסוי): גודל וקטורי וגודל סקלרי (שימו לב: מושגים בסיסיים בוקטורים כמו וקטור וסקלר הם הכרחיים ללימוד מכניקה, אם אינכם מכירים אותם, עליכם לחזור לפרק וקטורים בתחילת הספר). גודל וקטורי יתואר על-ידי וקטור ואילו גודל סקלרי יתואר על-ידי מספר ממשי (למשל 2.1). לדוגמא: זמן הנו גודל וסקאלרי במכניקה. הוא נמדד במספר ממשי של שניות/דקות/שעות וכו'. גודל וקטורי לדוגמא הוא המהירות, אשר יש לה גודל, אך גם יש לה כיוון. על-מנת לייצג את מהירותו של גוף כלשהו נאמנה, לא מספיק לתאר את גודלה של מהירותו, עלינו גם לתת ביטוי לכיוון. על כן המהירות תיוצג כוקטור אשר, כידוע, מתאר גם גודל וגם כיוון.

עלינו להגדיר כמה מושגים בסיסיים על-מנת שנוכל להמשיך:

גדלים וקטוריים

להלן מספר דוגמאות לגדלים וקטוריים. אנו נחזור להגדרות שלהם בהמשך.

העתק: השינוי במיקום הגוף (ביחס לנקודת יחוס מסויימת. ההעתק מסומן באות האנגלית $x$ או $s$ ונמדד ביחידות של אורך, למשל מטר, אינצ' וכו' ( $m,in$ ).

חשוב: ישנו הבדל קריטי בין דרך (המרחק אותו עבר הגוף) להעתק. אדם שנסע מתל אביב לירושלים וחזר, עבר מרחק מסוים, אך ההעתק שלו הוא 0. אנו נשוב להעתק בקרוב.

מהירות: המהירות מוגדרת כקצב שינוי ההעתק. את המהירות מסמנים באות $v$ (עבור: velocity) והיא נמדדת ביחידות של אורך חלקי זמן. למשל: ${\frac {m}{s}}$
תאוצה: התאוצה מוגדרת כקצב שינוי המהירות. את התאוצה נסמן באות $a$ (עבור: acceleration) ויחידותיה יהיו אורך חלקי זמן בריבוע. למשל: ${\frac {v}{t}}={\frac {\frac {m}{s}}{s}}={\frac {m}{s^{2}}}$

אנו נשוב להגדרות הללו באופן מדויק יותר עוד מעט.

גדלים סקלריים

זמן: הזמן שבמהלכו תיארנו את התנועה. את הזמן מסמנים באות $t$ (עבור: time) והוא נמדד בשניות ( $s$ ).

סימונים מקובלים

אינדקסים

במקרים רבים נראה שעל מנת להקל על הסימונים יהיה נוח לסמן את פרמטרים בעזרת אינדקס תחתי כך:

$x_{0},t_{0},v_{0},a_{0}$ : מסמלים את ערך הפרמטר בתחילת התנועה. כלומר: $v_{0}=5{\frac {m}{s}}$ משמעו שהמהירות בתחילת התנועה הייתה 5 מטרים לשניה.
$x_{t},v_{t},a_{t}$ : הפרמטר $t$ מתחת לשורה מסמן זמן מסוים, כך למשל: $x_{t}=5m$ משמעו שההעתק של גוף כלשהו בזמן $t$ שניות (מתחילת המדידה) הוא 5 מטר. עבור אותה דוגמא, אם נרצה למשל ש- $t$ יהיה 10 (כלומר: מיקומו של הגוף כעבור 10 שניות) נכתוב: $x_{t=10}=5$

האות היוונית דלתא ( $\Delta$ ):

נשתמש בדלתא כאשר יש צורך להתייחס להפרש בין שני ערכים בתיאור התנועה.

דוגמא:

נניח שיש לנו 4 מדידות של העתק הגוף על ציר ה- $x$ :‏ $x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}$ .
את ההפרש בין המדידה בנקודת ההתחלה נהוג לסמן כ- $\Delta x_{1}$ , את ההפרש בין הנקודה השנייה לשלישית כ- $\Delta x_{2}$ וכו' אם כי זה לא כלל מחייב.

דוגמא מספרית:

נתון: מהירותו ההתחלתית של הגוף 45 מטר לשניה. מהירותו בזמן $t$ הנה 75 מטר לשניה.
נכתוב: $\Delta v=v_{t}-v_{0}=75-45=30{\frac {m}{s}})$

המהירות והתאוצה הממוצעות מוגדרות בכתיב מתמטי תוך כדי שימוש באות דלתא:

מהירות: $v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$
תאוצה: $a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

הגדלים לעיל הם המהירות והתאוצה הממוצעות בתקופת הזמן המתוארת ב- $\Delta t$ . נדון בנושא זה בהרחבה בהמשך.

סוגי תנועה

בדיונינו בקינמטיקה אנו נתמודד עם בעיות שבהן ניתן להתייחס לגופים בגופים נקודתיים בלבד (כלומר גופים קטנים מאוד ביחס לממדי הבעיה). לפני שנתאר את סוגי התנועה שבהם נדון בספר זה, עלינו להגדיר מהי תנועה, אך ראשית עלינו להגדיר את מושג ההעתק של גוף.

הגדרה: העתק (Displacement)

ההעתק הנו ההפרש בין וקטור מיקום הגוף בסוף התנועה לוקטור מיקומו בתחילתה (הוקטור הנבחר כנקודת התחלה הוא שרירותי). אם מיקום הגוף בזמן $t_{1}$ היה ${\vec {s_{1}}}$ וב- $t_{2}$ היה ${\vec {s_{2}}}$ הרי שההעתק $\Delta s$ הנו

\Delta {\vec {s}}={\vec {s_{2}}}-{\vec {s_{1}}}

זהו גודל וקטורי אשר עשוי להשתנות על-פי הזמן (מיקום הגוף יכול להשתנות בזמן אף הוא). על כן לעתים קרובות מתייחסים למיקום כפונקציה של פרמטר הזמן. סימון:

{\vec {s}}(t)

איור 1: גוף מתחיל את תנועתו בנקודה A ומשם נע על העקום עד ל-B. הוקטור ${\overrightarrow {AB}}$ הוא ההעתק בקטע הזמן הראשון. ${\overrightarrow {BC}}$ במקטע השני, אך ${\overrightarrow {AC}}$ מתאר את ההעתק של כל התנועה.

וכעת להגדרת מושג התנועה:

הגדרה: תנועה (גוף נקודתי)

גוף נקודתי ייקרא בתנועה כאשר מיקומו אינו קבוע בזמן

תכנית הלימודים כוללת כמה סוגים של תנועה:

תנועה שוות תאוצה.
תנועה שוות מהירות או תנועה קצובה.
שילוב של מספר קטעים משני הסוגים לעיל

על-מנת להבין את סוגי התנועה השונים עלינו להבין את מושג המהירות:

הגדרה: מהירות רגעית (גוף נקודתי)

מהירות רגעית של גוף זוהי מנת שינוי המקום בהפרש הזמן, כאשר הפרש הזמנים הוא קצר מאוד (כלומר קטן מאוד ביחס לנתוני הבעיה). במונחים מתמטיים, אנו אומרים שהזמן שואף ל-0. בסימון מתמטי (כפי שלמדנו בחשבון דיפרנציאלי):

{\vec {v}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {s}}(t+\Delta t)-{\vec {s}}(t)}{\Delta t}}

על-מנת להבין טוב יותר מהי מהירות רגעית נתבונן במספר דוגמאות.

מהירות קבועה

הגדרה: תנועה שוות מהירות (גוף נקודתי)

תנועה שוות מהירות היא תנועה שבה המהירות הנה גודל הקבוע בזמן

במילים אחרות, שינוי המיקום של הגוף (גם בכיוון וגם בגודל) נשאר קבוע לכל פרק זמן - כלומר, אם למשל מכונית נעה במהירות שווה לכיוון מזרח (במדויק), נניח ב-60 קמ"ש, אז היא תעבור בדיוק ק"מ אחד בכל דקה (או 60 בכל שעה) לאורך כל הדרך. כמו כן (חשוב מאוד!) היא גם תמשיך לנוע לכיוון מזרח. תנועה שוות מהירות היא תנועה שבה גם כיוון המהירות נשמר. אם, למשל, המכונית היתה פונה צפונה במהלך הנסיעה, מהירותה לא היתה קבועה.

תנועה על קו עקום

גוף הנע על קו - מהירות הגוף לא יכולה להשאר קבועה בכיוון. החצים הכחולים מסמנים את הוקטורים של המהירות

תנועה של גוף לא חייבת להתקיים בקו ישר, אם כי ברור שתנועה במהירות קבועה אכן תהיה בקו ישר, מכאן ברור שתנועה שאיננה בקו ישר אינה תנועה במהירות קבועה (אם כי גודלה של המהירות עשוי להיות קבוע) כפי שמתואר באיור 2. כאיור מתוארת תנועה אשר גודל מהירותה נשאר קבוע, אך כיוונה משתנה. הגוף נע מנקודה A לנקודה B ומשם לנקודה C על גבי העקום המתואר. גודל המהירות עשוי להשאר קבוע (למשל, מכונית על כביש הנוסעת ב-60 קמ"ש) אך זה לא אומר שהמהירות נשארה קבועה. החיצים הכחולים מתארים את וקטורי המהירות, וקל לראות שכיוונם (אשר מתאר במקרה זה את כיוון נסיעת המכונית) אינו קבוע. כאמור, המהירות הרגעית היא שינוי ההעתק בזמן קצר. כפי שראינו קודם, גם להעתק של הגוף יש כיוון. ככל שהפרש הזמנים בין המדידות יהיה קצר יותר, כך נתקרב יותר למהירות הרגעית האמיתית.

תנועה שוות תאוצה

בתנועה זו תאוצתו של הגוף לא משתנה ועומדת על מספר קבוע שאינו אפס

דהיינו:

$a=k\left({\frac {m}{s^{2}}}\right)$ כאשר $k\neq 0$ . כך שכל שניה מהירותו של הגוף תגדל בגודל השווה בגודלו ל- $a$ .

דוגמא:

גוף מתחיל לנוע ממצב של מנוחה (כלומר: מהירותו ההתחלתית הנה אפס) בתאוצה של $2{\frac {m}{s^{2}}}$ . מכאן אנו יכולים להסיק שמהירותו כעבור שניה תהיה $2{\frac {m}{s}}$ , כעבור שתי שניות $4{\frac {m}{s}}$ . בצורה כללית אפשר לומר שמהירותו של גוף בזמן $t$ שווה למכפלת התאוצה בזמן ועוד מהירותו ההתחלתית (שבמקרה הנ"ל שווה לאפס):