מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות לוגריתמיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מעריכים ולוגריתמים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 אופן הפתרון
3 דוגמאות
- 3.1 דוגמה א'
- 3.2 דוגמה ב'

[עריכה] הגדרה

משוואות לוגריתמיות הן משוואות בהן מופיע לוגריתם. דוגמה:

$\ \log _2 x=x-5$

[עריכה] אופן הפתרון

קיימים מספר אופנים לפתרון משוואות לוגריתמיות:

הגדרת הלוגריתם- הגדרה זו אומרת כי אם $\ \log _a x=b$ אז $\ a^b=x$ . לעתים נשתמש בהגדרה זו, על-מנת להיפטר מהלוגריתם.
חוקי הלוגריתמים- במקרים מסויימים משוואות לוגריתמיות תיפתרנה באמצעות חוקי הלוגריתמים.
הוצאת לוגריתמים משני האגפים- פעולה אפשרית במשוואות מסוג זה היא הוצאת לוגריתמים משני האגפים. על-ידי פעולה זו, יווצר משתנה אחד במשוואה.
מעבר מבסיס לבסיס- אם נזהה מספרים שהם חזקות של אותו המספר, נוכל להשתמש בנוסחת המעבר מבסיס לבסיס בכדי לעבור לבסיס המשותף, וכך המשוואה תפושט.

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

$\ \log _3 (9\cdot3^x-2)=2+2x$

נשתמש בהגדרת הלוגריתם כדי להיפטר מהלוגירתם:

$\ 3^{2+2x}=9\cdot3^x-2$

כעת נשתמש בחוקי חזקות, עד לפתרון הסופי של התרגיל:

$\ 3^2\cdot3^{2x}=9\cdot3^x-2$

$\ 9\cdot(3^x)^2=9\cdot3^x-2$

$\ 9\cdot(3^x)^2-9\cdot3^x+2=0$

נסמן $\ t=3^x$ :

$\ 9t^2-9t+2=0$

$\ t_{1,2}=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4\cdot9\cdot2}}{2\cdot9}=\frac{9 \pm 3}{18}$

$\ t_1=\frac{9 + 3}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

$\ t_2=\frac{9-3}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

נמצא עבור כל אחד מהפתרונות את ה- $\ x$ המתאים:

$\ 3^{x_1}=\frac{2}{3}$

$\ x_1=\log _3 \left( \frac{2}{3} \right)=\log _3 2 -\log _3 3=\log _3 2-1=\frac{\log\ 2}{\log\ 3} -1=\frac{0.301}{0.477}-1=-0.369$

$\ 3^{x_2}=\frac{1}{3}=3^{-1}$

$\ x_2=-1$

ואלו הם הפתרונות.

[עריכה] דוגמה ב'

הפרק הקודם:
משוואות מעריכיות

משוואות לוגריתמיות
תרגילים

הפרק הבא:
אי שוויונות מעריכיים

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות לוגריתמיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

[עריכה] אופן הפתרון

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] דוגמה א'

[עריכה] דוגמה ב'

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא