מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/לוגריתמים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מעריכים ולוגריתמים

תוכן עניינים

1 לוגריתמים

[עריכה] לוגריתמים

[עריכה] הקדמה

בפעולת החזקה יש 3 מרכיבים: הבסיס (המספר אותו מעלים בחזקה), המעריך (כמות הפעמים לפיה כופלים את הבסיס בעצמו) וכמובן, התוצאה.

בהינתן בסיס ומעריך, כדי לחשב את התוצאה אנו מפעילים את פעולת החזקה. לדוגמה:

הבסיס: 5. המעריך: 3.

התוצאה: $\ 5^3=5 \cdot 5 \cdot 5=125$ .

אם ידועה התוצאה, וידוע רק הבסיס או רק המעריך, ניתן גם כן לגלות את המספר השלישי. יש לנו שמות שונים לשתי הפעולות שיש לבצע:

בהינתן המעריך והתוצאה, אנו משתמשים בפעולת השורש, לאו דווקא ריבועי. לדוגמה:

המעריך: 3. התוצאה: 8.

התוצאה: $\ \sqrt[3]{8}=2$

הערה: בפעולת השורש אין הכוונה דווקא לפעולת הוצאת שורש ריבועי, אלא להוצאת שורש מסדר כללי.

בהינתן הבסיס והתוצאה, אנו משתמשים בפעולת הלוגריתם. לדוגמה:

הבסיס: 3. התוצאה: 9.

המעריך: $\ \log _3 9=2$ .

פעולת הלוגריתם היא זו שתעניין אותנו בפרק הזה.

[עריכה] הגדרה וסימון

אם $\ a$ בחזקת $\ b$ שווה ל- $\ x$

$\ a^b=x$

אז הלוגריתם של $\ x$ לפי בסיס $\ a$ הוא $\ b$

$\ \log _a x=b$

[עריכה] תחום הגדרה

בפעולת הלוגריתם קיים תחום הגדרה לבסיס הלוגריתם ( $\ a$ ) ולמספר עבורו מבוצע הלוגריתם ( $\ x$ ):

בסיס הלוגריתם:
- בסיס הלוגריתם חייב להיות חיובי ושונה מ-1. זאת משום שאם נעלה את המספר 1 בכל חזקה שהיא, נקבל שהתוצאה היא 1. מכיוון שכך, אין משמעות ללוגריתם בבסיס 1 (זהו ביטוי חסר משמעות, אלא אם כן המספר ( $\ x$ ) הוא 1, ואז ללוגריתם זה יש אינסוף פתרונות).
- כמו כן לא תמיד יהיה פתרון ללוגריתם בו הבסיס הוא שלילי. לדוגמה: $\;\log_{\left(-2\right)} 5$ . לכן לא נהוג להגדיר לוגריתם עם בסיס שלילי.
המספר שבתוך הלוגריתם: מכיוון שבסיס הלוגריתם חיובי, חייב המספר שאותו מעבירים ללוגריתם להיות חיובי גם כן (העלאה בכל חזקה שהיא של מספר חיובי נותנת תוצאה חיובית).

לסיכום, אם $\ \log _a x=b$ אז:

$0 < a \ne 1$
$\ x > 0$
$b \in \mathbb{R}$

[עריכה] הערות

במידה ובסיס הלוגריתם לא מצוין, הכוונה היא לבסיס 10 (ברירת מחדל).
במחשבון מדעי רגיל אין אפשרות לחשב לוגריתם לפי בסיס שונה מ-10 או מ- $\;e$ , ולכן משתמשים בטכניקה של המרת בסיסים (ראה בהמשך).
לא נהוג לכתוב $\ (\log _a x)^2$ , אלא $\ \log _a ^2 x$ (בדומה, אגב, לפונקציות הטריגונומטריות- סינוס, קוסינוס וכו').

[עריכה] חוקי הלוגריתמים

ללוגים יש מספר חוקים. חוקים אלו דומים לחוקי החזקה, מה שיכול לעזור בזכרונם.
את הוכחות החוקים ניתן למצוא בהמשך.

[עריכה] כלל יסודי

כלל זה אינו נחשב לאחד מחוקי הלוגריתמים, אך נביאו כאן שכן הוא חשוב ושימושי להמשך הלימוד.

נניח ש-

$\ (1)\quad a^b=x$

מכאן, עפ"י הגדרת הלוגריתם:

$\ (2)\quad \log _a x=b$

נציב את $\ (2)$ ב- $\ (1)$ , ונקבל:

$\ a^{\log_a x}=x$

וזהו כלל שימושי מאוד בפתרונם של תרגילים עם לוגריתמים.

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

במידה וקיים לוגריתם בבסיס מסוים של מכפלה של שני מספרים, אזי הוא שווה לסכום הלוגריתמים של שני המספרים לפי אותו הבסיס.

$\ \log_a (x \cdot y)=\log _a x+\log _a y$

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

במידה וקיים לוגריתם בבסיס מסוים של מנה של שני מספרים, אזי הוא שווה להפרש הלוגריתמים של שני המספרים לפי אותו הבסיס.

$\log_a{\left( \frac{x}{y} \right)}=\log _a x-\log _a y$

[עריכה] לוגריתם של חזקה

במידה וקיים לוגריתם בבסיס מסוים של חזקה, אזי הוא שווה למכפלה של מעריך החזקה בלוגריתם של בסיס החזקה לפי הבסיס המקורי.

$\ \log _a x^n=n \cdot \log _a x$

[עריכה] הוכחות החוקים

על מנת להבין מדוע חוקים אלו פועלים, נדגים כעת את הוכחותיהם.

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad a^b=x \quad \quad,\quad \quad a^c=y$

מכאן ש-

$\ (2)\quad \log _a x=b \quad \quad,\quad \quad \log _a y=c$

בנוסף, נכפיל את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשנייה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:

$\ (3)\quad a^b \cdot a^c=x \cdot y$

$\ (3)\quad a^{b+c}=x \cdot y$

$\ (3)\quad \log _a (x\cdot y)=b+c$

נציב את שני החלקים מ-(2) בצורה הסופית של (3) ונקבל:

$\ \log _a (x\cdot y)=\log _a x+\log _a y$

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad a^b=x \quad \quad,\quad \quad a^c=y$

מכאן ש-

$\ (2)\quad \log _a x=b \quad \quad,\quad \quad \log _a y=c$

בנוסף, נחלק את המשוואות הרשומות ב-(1) אחת בשנייה, ונפתח את הביטוי בעזרת חוקי החזקות והלוגריתמים:

$\ (3)\quad \frac{a^b}{a^c}=\frac{x}{y}$

$\ (3)\quad a^{b-c}=\frac{x}{y}$

$\ (3)\quad \log _a (\frac{x}{y})=b-c$

נציב את שני החלקים מ-(2) בצורה הסופית של (3) ונקבל:

$\ \log_{a} \left({\frac{x}{y}}\right)=\log_{a} x-\log_{a} y$

[עריכה] לוגריתם של חזקה

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad a^b=x$

מכאן ש-

$\ (2)\quad \log _a x=b$

בנוסף, נעלה את שני אגפי משוואה (1) בחזקת $\ n$ . נקבל:

$\ (3)\quad (a^b)^n=x^n$

ועל-פי חוקי חזקות:

$\ (3)\quad a^{bn}=x^n$

מכאן, ע"פ הגדרת הלוגריתם:

$\ (4)\quad bn=\log _a x^n$

נציב במקום $\ b$ את מה שקיבלנו במשוואה (2):

$\ n \cdot \log _a x=\log _a x^n$

וקיבלנו את החוק.

[עריכה] מעבר בין בסיסים

לעתים מתעורר צורך לעבור מלוגריתם של מספר בבסיס מסוים, ללוגריתם של המספר בבסיס אחר. לשם כל קיימת נוסחת מעבר מבסיס לבסיס:

$\ \log _m x=\frac{\log _a x}{\log _a m}$

[עריכה] הוכחת הנוסחה

הוכחה: נניח ו-

$\ (1)\quad \log _m x=b$

מכאן ש-

$\ (2)\quad m^b=x$

עכשיו נוציא משני האגפים של (2) לוגריתם בבסיס $\ a$ :

$\ (3)\quad \log _a m^b=\log _a x$

לפי חוק 'לוגריתם של חזקה':

$\ (4)\quad b \cdot \log _a m=\log _a x$

נציב את (1) בביטוי האחרון, ואחרי חלוקה אחת נקבל את הנוסחה:

$\ \log _m x \cdot \log _a m=\log _a x$
$\ \log _m x=\frac{\log _a x}{\log _a m}$

[עריכה] הערות

בנוסחה קיים תחום הגדרה, בדיוק כפי שמוסבר לעיל.
שימוש במחשבון:
- הנוסחה מאפשרת להשתמש במחשבון לצורך חישוב לוגריתמים שבסיסם אינו 10. לדוגמה:

$\ \log _4 7=\frac{\log _{10} 7}{\log _{10} 4}=\frac{\log\; 7}{\log\; 4}\approx \frac{0.845}{0.602}\approx 1.40$

- במחשבון קיים בסיס מובנה נוסף ללוגריתמים: $\ e$ . הסימון המתמטי ללוגריתם בבסיס זה הוא $\ \log _e x=\ln x$ (יש לבטא "לָאן"). לכן את אותו החישוב יכולנו לעשות באמצעות הפונקציה $\;\ln$ :

$\ \log _4 7=\frac{\log _e 7}{\log _e 4}=\frac{\ln\; 7}{\ln\; 4}\approx \frac{1.94}{1.38}\approx 1.40$

על הבסיס המיוחד e לומדים יותר בפירוט בזמן לימודי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

הפרק הקודם:
אינדוקציה מתמטית

לוגריתמים
תרגילים

הפרק הבא:
בעיות גידול ודעיכה

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/לוגריתמים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] לוגריתמים

[עריכה] הקדמה

[עריכה] הגדרה וסימון

[עריכה] תחום הגדרה

[עריכה] הערות

[עריכה] חוקי הלוגריתמים

[עריכה] כלל יסודי

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של חזקה

[עריכה] הוכחות החוקים

[עריכה] לוגריתם של מכפלת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של מנת שני מספרים

[עריכה] לוגריתם של חזקה

[עריכה] מעבר בין בסיסים

[עריכה] הוכחת הנוסחה

[עריכה] הערות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא