מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | טכניקות אלגבריות פשוטות

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:נוסחאות הכפל המקוצר, הוצאת גורם משותף]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

תוכן עניינים

1 טכניקות של פישוט

[עריכה] טכניקות של פישוט

ישנו במתמטיקה מושג מעט לא מתמטי שנקרא פישוט או הבאה לצורה הפשוטה ביותר. זהו תהליך שבו מפעילים פעולות חשבון מותרות על תבנית מתמטית כלשהי ומביאים אותה לצורה "פשוטה יותר". איזוהי הצורה הפשוטה יותר, זוהי שאלה שהיא יותר שאלה אנושית מאשר שאלה מתמטית מכיוון שאולי צורה אחת פשוטה יותר מצורה שניה לפלוני ולאלמוני היא למעשה מסובכת מצורה אחרת. למרות זאת, ישנה הסכמה שישנן צורות מסויימות שהן פשוטות יותר מצורות אחרות. למשל, את המספר 1 ניתן להציג בדרכים רבות מאוד. למשל, ברור שניתן להציג את המספר בצורה של $\frac{a}{a}$ .בתנאי שa שונה מאפס ומאינסוף. וגם בצורה זו (מתחום הטריגונומטריה) $sin 2 x + cos 2 x$ . יסכימו הקוראים, כי הצורה הפשוטה יותר היא, כמובן, 1. ישנן דוגמאות נוספות רבות אך צורה זו היא לרוב קלה יותר לקריאה.
מעבר לסיבות של קריאה, עדיף בד"כ להגיע לתוצאות מפושטות שכן אלו בד"כ ימנעו טעויות בחישוב ויקלו עליו מכיוון שלרוב בעזרת פישוט יהיה צורך בפחות פעולות חשבון בסך הכל.
אנו נעבור כעת על מספר צורות אשר מקובלות כצורות הפשוטות יותר (אם כי יצויין כי ישנם יוצאי דופן נדירים) ועל מספר כללים אשר את רוב האנשים יובילו לתחושה שתבנית זו או אחרת היא הפשוטה ביותר שניתן להשיג.

[עריכה] מינימום של פעולות חשבון

במרבית המקרים, כאשר ממעיטים במספר פעולות החשבון בהצגת ערך מסויים (או פסוק מסויים) ברור שהתוצאה תיראה קלה יותר להבנה. אם-כן, למשל, המספר $2\cdot 2^{7}$ קשה יותר לקריאה מ-256. ניתן גם שהתלמידים ישתמשו בזה

[עריכה] צמצום שברים וביטול אברים נגדיים

כמעט בכל המקרים, אנו מעדיפים לצמצם גורמים משותפים בשברים. למשל בשבר $\frac{ab}{bc}$ ישנו גורם משותף למונה ולמכנה. זהו כמובן $b$ . במקרה זה ניתן להציג את השבר כמכפלה של שני שברים כך

$\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{b}=\frac{a}{c}\cdot{1}=\frac{a}{c}$

פעולה זו נקראת צמצום והיא מסומנת לרוב על ידי מחיקה בקו אלכסוני יחיד של האיבר במונה ובמכנה שאותם מצמצמים כך

$\frac{a\not{b}}{c\not{b}}$

דוגמא נוספת לסימון כזה היא במקרה של חזקה, למשל

$\frac{a^2}{ab}=\frac{a^\not{2}}{\not{a}{b}}$

אותם כללי הסימון חלים על איברים נגדיים של חיבור (וחיסור כמובן). למשל

$a^2-b-a^2=\not{a^2}-b-\not{a^2}$

[עריכה] קו שבר יחיד

שברים מורכבים הינם שברים אשר בהם מופיע יותר מקו שבר אחד. לדוגמא $\frac{a}{\frac{c}{b}}$ . מכיוון שמוסכם שפעולת החילוק היא מסובכת יותר מפעולת הכפל. לכן, נעדיף להציג את קו השבר השני כמכפלה במונה או במכנה של הראשון. למעשה, גם בשבר מורכב מאוד, ניתן תמיד להגיע לקו שבר יחיד (אם כי לא תמיד זה כדאי כי לעיתים מספר פעולות החשבון אשר יהיה צריך על מנת להציג את המספר הזה תהיה גדולה מדי).
כיצד, אם-כן ניתן להשיג מטרה זו של הפיכת כל שבר מורכב לקו שבר יחיד? זאת נעשה על ידי הכפלה במספר 1 (אשר אינה משנה את הערך של השבר). פעולה זו נקראת הרחבה. על מנת לבצעה, ראשית נציג את המספר 1 בעזרת המכנה של השבר הפנימי יותר של השבר המורכב. נבצע זאת כך:

$\frac{a}{\frac{b}{c}}$
$1=\frac{c}{c}$

מכאן נקבל ש

$\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot 1=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot\frac{c}{c}= \frac{a\cdot{c}}{\frac{b}{c}\cdot{c}}=\frac{ac}{b}$

או אפשר בצורה אחרת: a:b/c

[עריכה] כינוס אברים

זהו תהליך שבו מבצעים פעולות פשוטות על איברים "דומים". איברים דומים הן מכפלות בעלות אותם משתנים והמקדמים זהים או שונים.
דוגמאות לאיברים דומים: 3y, 5y ; $3 x 2,5 x 2$

לאחר שאנו פותחים סוגריים (או במקרים דומים), אנו מקבלים איברים רבים. כל איבר בנוי ממספר, שאותו נקרא מקדם, ומהפרמטר שלנו (לרוב a,b,c או x,y,z אך אין הכרח בכך) בחזקה כלשהי. הפעולה של חיבור כל המקדמים של חזקה מסויימת נקראת "כינוס איברים". לרוב, לא ניתן לכנס איברים שאינם מאותה חזקה, אלא במקרים מיוחדים בלבד עליהם נעבור בהמשך.

$a+\not{b}+4a+c-\not{b}=5a+c$

מה שעשינו זה ספרנו כל סוג של אברים ו"כינסנו" אותם יחד. ניתן עוד דוגמא

$\frac{1}{2}a^2+3b^2+2a+b^2+\frac{3}{2}a^2=2a^2+4b^2+2a$

את הדוגמא לעיל לא ניתן לפשט יותר. נראה בהמשך דוגמאות שבהן ניתן לפשט יותר.

דוגמא נוספת לכינוס אברים

$\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{3\cdot 4}=$
$=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{3}$

מכיוון ש-3 הינו מספר ראשוני לא ניתן לפרקו לגורמים שאינם 3 או 1. מכאן שאיננו יכולים למצוא לו שורש שהוא מספר שלם (למעשה לא ניתן בכלל לכתוב את השורש הזה בצורה של שבר פשוט הבנוי ממספרים שלמים כלשהם, עובדה שנבין בהמשך) לכן $\sqrt{3}$ אינו ניתן לכתיבה בדרך פשוטה יותר ואנו חייבים להתייחס אליו כשם שהיינו מתייחסים לכל פרמטר או משתנה $\ a$ או $\ b$ וכיוצא באלו. אנו מתייחסים לכן לכל שורש של מספר ראשוני כשם שהיינו מתייחסים למשתנה. כפי שעשינו, על מנת לכנס אברים של שורשים, נפרקם לשורשים של מספרים ראשוניים ככל הניתן. מכאן, נמשיך את כינוס האברים.

$=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{3}=\sqrt{3}+3\sqrt{5}+2\sqrt{3}=$
$=3\sqrt{3}+3\sqrt{5}$

ניתן לפשט רק עוד במעט, ואת זאת נראה כאשר נדון בהוצאת גורם משותף מחוץ לסוגריים.

[עריכה] פתיחת סוגריים

פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים הינן פעולות שגרתיות אשר כל תלמיד מתמטיקה ומקצועות מדעיים אחרים יתקל בהן. פתיחת סוגריים הינו תהליך שבו אנו כופלים שני ביטויים (או יותר) הנמצאים בתוך סוגריים, ומקבלים ביטוי אשר בו מספר הסוגריים קטן. בתהליך אנו משתמשים בחוק הפילוג וחוק הקיבוץ מחוקי החשבון. את הפעולה אנו מבצעים לפי הסדר, כאשר כל איבר הנמצא בסוגר אחד כופל איבר הנמצא בסוגר שני פעם אחת בדיוק. על מנת להמנע מטעויות לפחות בתחילת דרכיכם, ניתן לפרק את הפעולה בצורה הבאה: למשל אם נרצה לכפול את $\left(a+b\right)$ ב- $\left(c+d\right)$ נקבל

$\left(a+b\right)\cdot\left(c+d\right)= a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)= ac+ad+bc+bd$

דוגמאות נוספות:

$\left(x+1\right)\left(x-6\right)=x\cdot\left(x-6\right)+1\cdot\left(x-6\right)= x^2-6x+x-6=x^2-5x-6$
$\left(a+b\right)^{2}=\left(a+b\right)\cdot\left(a+b\right)=a\cdot\left(a+b\right)+b\cdot\left(a+b\right)= a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$

כאשר יש יותר משני כופלים (למשל 3) יש לקבץ את האברים בסוגרים לפני הכפל כך:

$\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(h+g\right)=\left[\left(a+b\right)\left(c+d\right)\right]\left(h+g\right)=$
$=\left[a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)\right]\left(h+g\right)=$
$=\left(ac+ad+bc+bd\right)\left(h+g\right)=ac\left(h+g\right)+ad\left(h+g\right)+bc\left(h+g\right)+bd\left(h+g\right)$
$=\ ach+acg+adh+adg+bch+bcg+bdh+bdg$

תלמידים רבים טועים כאשר מנסים לבצע תרגיל זה וכותבים (בטעות) את הפסוק הבא

$\left(a+b\right)^2=a^2+b^2$

זוהי טעות שכן החזקה איננה ניתנת לפילוג לפעולות חיבור. פילוג בחזקה ניתן לבצע רק בכפל. מכאן גם נובעת מסקנה נוספת, והיא שגם שורשים לא ניתן לפלג, שכן אף הם חזקות, מה שלא מונע מתלמידים רבים לטעות גם כאן ולכתוב ש

$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

שאף זוהי טעות. זוהי פתיחת סוגריים בלתי חוקית. ניתן להשתמש אך ורק בחוקי החשבון הידועים לנו מפרק קודם על מנת לפתוח סוגריים. דוגמא נוספת:

$\left(a+b+c+d\right)\cdot\left(e+f\right)=\left(a+b+c+d\right)\cdot{e}+\left(a+b+c+d\right)\cdot{f}= ae+be+ce+de+af+bf+cf+df$

פתיחת הסוגר הראשון קודם תביא לביטוי ארוך יותר וסיכוי רב יותר לטעויות.

[עריכה] הוצאת גורם מחוץ לסוגריים

פעולה זה הינה פעולה ההפוכה לפעולת פתיחת סוגריים שכופלים איבר יחיד. הוצאת גורם מחוץ לסוגריים משתמשת בחוק בפילוג והיא מתבצעת לרוב ישירות ממנו. לדוגמא

$ac+ab=a\left(c+b\right)$

ניתן אך להוציא איבר מחוץ לסוגריים גם אם איננו מופיע בהם בצורה מפורשת על ידי כך שמחלקים בו. ניתן לעשות זאת באופן הבא

$ac+b=c\left(a+\frac{b}{c}\right)$

צורה זו הינה נדירה יותר, אך אף היא שימושית מדי פעם.

[עריכה] דוגמא 1

נתון הביטוי

$\sqrt{12}+\sqrt{3}$

ביטוי זה דומה לביטוי בדוגמא קודמת. על מנת לפשטו נבצע את פעולת הוצאת הגורם המשותף. במקרה זה לא רואים מיד את הגורם המשותף. על מנת לראותו נבצע שוב את אותה פעולה שביצענו בדוגמא בסעיף הקודם והיא פירוק לגורמים. ברור ש-12 הינו מספר פריק. והוא מתפרק ל-3 (שהוא ראשוני) ול $22$ שהוא ריבוע של מספר ראשוני. נקבל:

$\sqrt{12}+\sqrt{3}=\sqrt{{2}^{2}\cdot{3}}+\sqrt{3}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=$
$=\sqrt{3}\left(2+1\right)=3\sqrt{3}$

שזהו ביטוי פשוט הרבה יותר.
ניתן לפשט ביטויים מסובכים עוד הרבה יותר בדרך זו.

[עריכה] דוגמא 2

הסיבה הנפוצה ביותר להוצאת גורם משותף הינה צמצום גורמים משותפים בשברים או במשוואות. אם למשל נתון הביטוי

$\frac{a^2+a}{a+1}$

הרי שביטוי זה ניתן לפישוט על ידי הוצאת הגורם המשותף $a$ מחוץ לסוגריים. נעשה זאת כך:

$\frac{a^2+a}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}=a$

[עריכה] דוגמא 3

שילוב של מספר טכניקות ביחד עלול להיות מעט מסובך, אך התוצאה לעיתים קרובות שווה את ההקרבה. נסו להבין כל שלב בפישוט. כאן הצורה הסופית ספק פשוטה יותר מהמקורית אך ללא ספק קלה יותר לשימוש.

$\begin{matrix} \frac{1-\frac{c+\frac{2}{b}}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}}{1-\frac{1}{b}}-1 & = & \frac{\left(1-\frac{c+\frac{2}{b}}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}\right)b} {\left(1-\frac{1}{b}\right)b}-1=\frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\frac{c}{a}+\frac{1}{c}}}{b-1}-1\\ & = & \frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\frac{c^{2}+a}{ac}}}{b-1}-1=\frac{b-\frac{b\left(c+\frac{2}{b}\right)ac}{\left(\frac{c^{2}+a}{ac}\right)ac}}{b-1}-1=\frac{b-\frac{abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1\\ & = & \frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)}{c^{2}+a}-\frac{abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1=\frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}}{b-1}-1\\ & = & \frac{\frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{c^{2}+a}\left(c^{2}+a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{b\left(c^{2}+a\right)-abc\left(c+\frac{2}{b}\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-\frac{2abc}{b}}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}-1\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-ab^{2}-2ac-\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-\left(bc^{2}-c^{2}+ab-a\right)}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{bc^{2}+ab-abc^{2}-2ac-bc^{2}+c^{2}-ab+a}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ & = & \frac{-abc^{2}-2ac+c^{2}+a}{\left(b-1\right)\left(c^{2}+a\right)}\\ \end{matrix}$

דוגמא זו מציגה מגוון של טכניקות פישוט פשוטות אשר מביאות לתוצאה הרצויה רק לאחר מאבק של מספר דקות. רבים המקרים בהם נהיה חייבים להשתמש בטכניקות שלמדנו ואל לנו לפחד מהשימוש בהן גם אם מדובר במקרה מעט סבוך כפי שנראה לעיל.

[עריכה] נוסחאות הכפל המקוצר

נוסחאות אלו הינן נוסחאות אשר מאפשרות לפתוח סוגריים (או לקבץ איברים) של ביטויים נפוצים במהירות וללא טעויות. נוסחאות אלו הן (עבור תבניות בחזקה 2)

$\left(a+b\right)^{2}=a^2+2\cdot{a}\cdot{b}+b^2$
$\left(a-b\right)^{2}=a^2-2\cdot{a}\cdot{b}+b^2$
$a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

ועבור תבניות בחזקה 3

$\left(a+b\right)^{3}=a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3$
$\left(a-b\right)^{3}=a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3$
$a^3-b^3=\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)$
$a^3+b^3=\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b\right)$

כפי שנראה לעיל, התוצאה היא פולינום בשני משתנים וניתן להשתמש בנוסחאות אלו בכל מקרה בו נרצה לפתוח סוגריים ולקבץ איברים. נוסחאות אלו הינן בעלות חשיבות רבה ומועיל ללמוד אותן בעל פה. במיוחד חשובות הנוסחאות של חזקה 2.

לנוסחאות הכפל המקוצר ישנה גם משמעות גיאומטרית. כדי להווכח במשמעות זו, מומלץ לקוראים לצייר ריבוע אשר בו אורך הצלע הוא $\left(a+b\right)$ . הקורא יוכל להווכח שבתוך הריבוע נוצרים שני ריבועים ושני מלבנים, אשר סכום שטחם מתאים לנוסחאות הכפל המקוצר. כתרגיל, מומלץ לקורא לבצע משימה זו גם עבור הנוסחאות של חזקה 2 וגם עבור נוסחאות של חזקה 3, שם במקום לקבל ריבוע, יש לצייר קוביה.

הפרק הקודם:
טכניקות אלגבריות פשוטות

טכניקות של פישוט
תרגילים

הפרק הבא:
רבי איבר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] טכניקות של פישוט

[עריכה] מינימום של פעולות חשבון

[עריכה] צמצום שברים וביטול אברים נגדיים

[עריכה] קו שבר יחיד

[עריכה] כינוס אברים

[עריכה] פתיחת סוגריים

[עריכה] הוצאת גורם מחוץ לסוגריים

[עריכה] דוגמא 1

[עריכה] דוגמא 2

[עריכה] דוגמא 3

[עריכה] נוסחאות הכפל המקוצר

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא