מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | טכניקות אלגבריות פשוטות

דף זה מועמד לאיחוד
ערך זה דן בנושא של הדף [[:היכרות עם תלת האיבר הריבועי (הטרינום)]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן יש לאחד את שני הדפים. (דיון)

תוכן עניינים

1 רבי איבר

[עריכה] רבי איבר

הגדרה: רב איבר (פולינום) הינו סכום של אברים אשר כל אחד מהם מורכב ממקדם המכפיל אותו ומחזקה של אחד או יותר משתנים.
במקרה הפרטי שלרוב יעניין אותנו, רב-אבר של משתנה יחיד הוא ביטוי מהצורה

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+ a_{0}$

נדגיש, כמו-כן, שהמספר $n$ יכול להיות מספר טבעי בלבד.

כאשר $\;a_{n}$ הוא מספר קבוע (למשל 7) והמשתנה (או הנעלם) הוא $x$ . כאשר מפשטים ביטויים פולינומיאליים (כלומר ביטויים אשר מהווים רב-איבר) לרוב עדיף להביא את הביטויים לצורת רב-איבר. במצב זה לרוב התבנית תהיה הפשוטה ביותר. דוגמא לרב-איבר במשתנה יחיד

$2x^3+\frac{1}{4}x^2-5x+7$

דוגמא לרב-איבר בשני משתנים

$2x^{3}y^2+\frac{1}{3}x^{2}y-5x+7$

קיימים גם רבי איבר בני כל מספר טבעי של משתנים.

[עריכה] ייצוג של פולינומים

כאמור פולינום הוא ביטוי מהצורה

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}\cdots+ a_{0}$

זהו פולינום במשתנה אחד. המשתנה במקרה זה הינו $\ x$ . צורה זו נקראת הצורה הסטנדרטית של הפולינום. כאשר אנו מעוניינים להגיע לצורה זו, עלינו לדאוג שכל חזקה של המשתנה תוכפל במקדם אחד בלבד. כלומר עלינו לכנס אברים דומים. כפי שניתן לראות (אם כי קצת קשה להוכיח) לא ניתן להציג חזקה מסויימת של המשתנה באמצעות חזקה אחרת בצורה הסטנדרטית ולכן זוהי הצורה הפשוטה ביותר להציג פולינום.

[עריכה] דרגה של פולינום

הגדרה: הדרגה של הפולינום הינה הערך הגדול ביותר של מעריך החזקה של איבר כלשהו בפולינום עם מקדם שונה מאפס.
למשל בדוגמא לעיל של רב-איבר במשתנה יחיד, דרגת הפולינום הינה 3. גם מספר קבוע הוא פולינום אשר דרגתו 0, מכיוון שהמספר הקבוע הוא מקדם של איבר בפולינום שחזקתו שווה לאפס (ומכאן ערכו שווה ל-1). פולינום אשר בו יש רק איבר אחד יקרא מונום ואילו פולינום אשר בו 2, בינום. פולינום בו 3 אברים יקרא טרינום וכך הלאה.

[עריכה] שורש של פולינום

הגדרה: שורש של פולינום הינו מספר אשר כאשר מציבים אותו במשתנה של הפולינום מקבלים 0.
לדוגמא, לפולינום $\ x-5$ יש שורש שהוא 5.
דוגמא נוספת: למשל בפולינום מדרגה גבוהה יותר

$\ x^2-2x+1$

אם מציבים $\ x=1$ מקבלים $\ 0$ ולכן זהו שורש של הפולינום.
לכל פולינום מדרגה $\ n$ כלשהי ישנם לכל היותר $\ n$ שורשים. את עובדה זו נקבל ללא הוכחה בשלב זה (אך הוכחה קיימת כמובן). הקורא המתעניין יוכל למצוא מידע נוסף בערך המשפט היסודי של האלגברה. הערה חשובה: משמעותו של שורש זה (שורש של פולינום) שונה ממשמעותו של השורש החשבוני הרגיל, ולכן לא מסמנים אותם באותו אופן.

[עריכה] כפל פולינומים

הכפלת פולינומים מתבצעת באופן הרגיל של פתיחת סוגריים. מכאן ניתן להגיע לכמה מסקנות. האחת היא שלכל מכפלת פולינום יש את כל השורשים אל כל אחד מהכופלים וזאת מפני שהפולינום החדש ניתן לכתיבה של שני האיברים המקוריים (שאותם מקיימים השורשים שלהם). מסקנה נוספת היא שדרגת המכפלה היא סכום דרגות הכופלים. את הסיבה לזה ניתן לראות בקלות אם פותחים סוגריים.

הפרק הקודם:
טכניקות של פישוט

רבי איבר
תרגילים

הפרק הבא:
הטרינום

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] רבי איבר

[עריכה] ייצוג של פולינומים

[עריכה] דרגה של פולינום

[עריכה] שורש של פולינום

[עריכה] כפל פולינומים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא