מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר

רבי-אבר

הגדרה: רב-אבר (פולינום) הינו סכום של אברים אשר כל אחד מהם מורכב ממקדם המכפיל אותו ומחזקה של אחד או יותר משתנים.

במקרה הפרטי שלרוב יעניין אותנו, רב-אבר של משתנה יחיד הוא ביטוי מהצורה

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$$

נדגיש, כמו-כן, שהמספר $n$ יכול להיות מספר טבעי בלבד.

כאשר $a_{n}$ הוא מספר קבוע (למשל 7) והמשתנה (או הנעלם) הוא $x$ . כאשר מפשטים ביטויים פולינומיים (כלומר ביטויים אשר מהווים רב־אבר) לרוב עדיף להביא את הביטויים לצורת רב־אבר. במצב זה לרוב התבנית תהיה הפשוטה ביותר. דוגמא לרב־אבר במשתנה יחיד

$$2x^{3}+{\frac {1}{4}}x^{2}-5x+7$$

דוגמא לרב־אבר בשני משתנים

$$2x^{3}y^{2}+{\frac {1}{3}}x^{2}y-5x+7$$

קיימים גם רבי־אבר בני כל מספר טבעי של משתנים.

יצוג של פולינומים

כאמור פולינום הוא ביטוי מהצורה

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$$

זהו פולינום במשתנה אחד. המשתנה במקרה זה הנו $x$ . צורה זו נקראת הצורה הסטנדרטית של הפולינום. כאשר אנו מעוניינים להגיע לצורה זו, עלינו לדאוג שכל חזקה של המשתנה תוכפל במקדם אחד בלבד. כלומר עלינו לכנס אברים דומים. כפי שניתן לראות (אם כי קצת קשה להוכיח) לא ניתן להציג חזקה מסוימת של המשתנה באמצעות חזקה אחרת בצורה הסטנדרטית ולכן זוהי הצורה הפשוטה ביותר להציג פולינום.

דרגה של פולינום

הגדרה: הדרגה של הפולינום הנה הערך הגדול ביותר של מעריך החזקה של אבר כלשהו בפולינום עם מקדם שונה מאפס.

למשל בדוגמא לעיל של רב־אבר במשתנה יחיד, דרגת הפולינום הנה 3. גם מספר קבוע הוא פולינום אשר דרגתו 0, מכיון שהמספר הקבוע הוא מקדם של איבר בפולינום שחזקתו שווה ל־0 (ומכאן ערכו שווה ל־1). פולינום אשר בו יש רק אבר אחד יקרא מונום ואילו פולינום אשר בו 2, בינום. פולינום בו 3 אברים יקרא טרינום וכך הלאה.

שורש של פולינום

הגדרה: שורש של פולינום הינו מספר אשר כאשר מציבים אותו במשתנה של הפולינום מקבלים 0.

לדוגמא, לפולינום $x-5$ יש שורש שהוא 5.

דוגמא נוספת: למשל בפולינום מדרגה גבוהה יותר

$$x^{2}-2x+1$$

אם מציבים $x=1$ מקבלים 0 ולכן זהו שורש של הפולינום.

לכל פולינום מדרגה $n$ כלשהי ישנם לכל היותר $n$ שורשים. את עובדה זו נקבל ללא הוכחה בשלב זה (אך הוכחה קיימת כמובן). הקורא המתעניין יוכל למצוא מידע נוסף בערך המשפט היסודי של האלגברה.

הערה חשובה: משמעותו של שורש זה (שורש של פולינום) שונה ממשמעותו של השורש החשבוני הרגיל, ולכן לא מסמנים אותם באותו אופן.

כפל פולינומים

הכפלת פולינומים מתבצעת באופן הרגיל של פתיחת סוגריים. מכאן ניתן להגיע לכמה מסקנות. האחת היא שלכל מכפלת פולינום יש את כל השורשים אל כל אחד מהכופלים וזאת מפני שהפולינום החדש ניתן לכתיבה של שני האברים המקוריים (שאותם מקיימים השורשים שלהם). מסקנה נוספת היא שדרגת המכפלה היא סכום דרגות הכופלים. את הסיבה לזה ניתן לראות בקלות אם פותחים סוגריים.

הפרק הקודם: טכניקות של פישוט

רבי־אבר תרגילים

הפרק הבא: הטרינום