מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/בעיות מילוליות/בעיות מספרים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | בעיות מילוליות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בעיות מספרים הן בעיות שבהם נתון קשר מסוים בין ספרת היחידות לבין ספרת העשרות של מספר מסוים או בין שני מספרים שונים.

תוכן עניינים

1 קשר בין ספרות של מספר
- 1.1 הנוסחא הבסיסית
- 1.2 דוגמא לבעיה
2 בעיות קשר בין מספרים שונים
- 2.1 קשר חיבורי
- 2.2 קשר כפלי

[עריכה] קשר בין ספרות של מספר

[עריכה] הנוסחא הבסיסית

אם נסמן:

x=ספרת העשרות

y=ספרת היחידות

אז נסמן את המספר כך: $\ 10 \cdot x + y$

כלומר, ספרת העשרות 10 X + ספרת היחידות = המספר

[עריכה] דוגמא לבעיה

א. במספר דו ספרתי ספרת העשרות גדולה ב-2 מספרת היחידות. אם נחבר את המספר עם מספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך נקבל 88. מהו המספר?

הפתרון:

נסמן את ספרת היחידות כ- $\ X$ ואת ספרת העשרות, הגדולה מספרת היחידות ב-2, נסמן כ- $\ X+2$ . אם כן את המספר נסמן, על פי הנוסחא הבסיסית, כ- $\ 10 \cdot (X + 2) + X$

במספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך ספרת היחידות היא $\ X+2$ , ספרת העשרות היא $\ X$ והמספר הוא $\ 10 \cdot X + (X + 2)$

נציג את הדברים באמצעות טבלה:

	ספרת היחידות	ספרת העשרות	נוסחת המספר
המספר המתבקש בשאלה	$\ X$	$\ X+2$	$\ 10 \cdot (X + 2) + X$
המספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך	$\ X+2$	$\ X$	$\ 10 \cdot X + (X + 2)$

מכיוון שסכום המספרים הוא 88, המשוואה היא: נוסחת המספר המבוקש + נוסחת המספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך = 88

ובשפה מתמטית: $\ 10 \cdot (X + 2) + X + 10 \cdot X + (X + 2) = 88$

נפתח סוגריים: $10 \cdot X + 10 \cdot 2 + X + 10 \cdot X + X + 2 = 88$

נכנס איברים דומים: $\ 22 X + 22 = 88$

נעביר אגפים: $\ 22 X = 88 - 22$

נבודד את הנעלם: $\ {22 X \over 22} = {66 \over 22}$

התוצאה שהתקבלה: $\ X = 3$

מכיוון שספרת היחידות היא 3, ספרת העשרות היא 5, והמספר הוא 53.

בדיקה:

$\ 53 + 35 = 88$

[עריכה] בעיות קשר בין מספרים שונים

[עריכה] קשר חיבורי

בעיה:הסכום של שני מספרים הוא 94.המספר השני גדול ב-4 מהראשון.
פתרון:נסמן את המספר הראשון ב- $\ X$ ואת המספר השני כ- $\ X+4$ .
את סכומם נסמן כ- $\ X + X + 4$ .
המשוואה היא: סכום=94,כלומר: $\ X + X + 4=94$
נעביר אגפים: $\ X + X =94 - 4$
נכנס איברים: $\ 2X=90$
נחלק את המשוואה ב-2: $\ X =45$
כלומר המספר הראשון הוא 45,והמספר השני הוא 49=45+4 בדיקה: $\ 45+49=94$

[עריכה] קשר כפלי

בעיה:המכפלה של שני מספרים היא 28.ההפרש ביניהם הוא 3.
פתרון:נסמן את המספר הראשון ב- $\ X$ ואת המספר השני כ- $\ X+3$ .
את מכפלתם נסמן כ- $\ X(X+3)$ .
המכפלה היא 28 ולכן: $\ X(X+3)=28$
$\ X^2 +3X=28$
$\ X^2 +3X-28=0$
על פי הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית( $\ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ): $\ X_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2}$
$\ X_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+112}}{2}$
$\ X_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2}$
$\ X_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{2}$
$\ X_1=\frac{-3 + 11}{2}= \frac{8}{2}=4$
אפשרות 1 לפיתרון:המספר הראשון הוא 4 והמספר השני הוא 7=3+4
בדיקה: $\ 4 \cdot 7=28$
$\ X_2=\frac{-3 - 11}{2}= \frac{-14}{2}=-7$
אפשרות 1 לפיתרון:המספר הראשון הוא $\ (-7)$ והמספר השני הוא $\ (-7)+3=(-4)$
בדיקה: $\ (-7) \cdot (-4)=28$