מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/בעיות מילוליות/בעיות כלליות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | בעיות מילוליות

תוכן עניינים

1 בעיות מילוליות כלליות

[עריכה] בעיות מילוליות כלליות

בבעיות מילוליות כלליות אנו נתקלים בחיי היום-יום במצבים שונים ומגוונים, ולא רק לבגרות. הטכניקה הנדרשת עבור פתרון בעיות מילוליות היא הטכניקה של "תרגום" הבעיה המילולית לשפה מתמטית. משם, הדרך לפתרון היא שימוש בטכניקות המתמטיות שכבר למדנו. מטרתנו, אם-כן, להציג טכניקה שבה אנו לוקחים בעיה אשר מנוסחת "בשפה אנושית" ולהפכה לשפה מתמטית. לדוגמא, השאלה "מהו המספר אשר אם נוסיף לו 3 נקבל 5?" היא שאלה מילולית, אשר מתורגמת (די בקלות, יש לציין) למשוואה

$x+3=5\;$

אשר אותה קל מאוד לפתור.
מכיוון שטכניקות הן עניין של הרגל, נעדיף להשתמש באותם סימונים ככל האפשר, ולכן נעדיף להשתמש בנעלמים $\;x$ ו- $\;y$ ברוב המקרים, אם-כי לבחירה זו אין כל משמעות.

[עריכה] דוגמא

ליששכר האופה היו שלושים כיכרות לחם ביום ראשון. לאחר חמישה ימים, גדל מספר הככרות שלו ל-150. בהנחה שקצב אפיית הלחמים של יששכר נשאר קבוע לאורך כל הזמן, כמה כיכרות אופה יששכר בכל יום?

[עריכה] פתרון

שאלה זו הינה עדיין שאלה בסיסית ביותר, ואין היא טומנת בחובה כל קושי נסתר. הבה נתרגם את הנתונים של השאלה לשפה אלגברית. את התרגום אנו מתחילים בנתינת שמות לנעלמים ובנית רשימה מתומצתת של הנתונים:

$\;x$ מסמן את מספר הכיכרות שיששכר מיצר בכל יום.
30 מספר הככרות של יששכר ביום א'
150 מספר הככרות של יששכר לאחר 5 ימים.

כעת ניגש למלאכת הפתרון. אם $\;x$ הוא מספר הכיכרות ליום, הרי שהכפלתו במספר הימים יתן את מספר הכיכרות שיוצרו סה"כ ואם נוסיף לו 30 (מספר הככרות שהיו ליששכר מראש) נקבל את האמת המתמטית הבאה:

$30+x\cdot 5=150$

ומכאן הפתרון הוא ברור על פי שימוש בכללי פתרון המשוואות והוא

$x=24\;$

ולכן הפתרון הוא: 24.

[עריכה] דוגמא

סוחרת קנתה מוצרים במחיר כולל של 800 ש"ח. 8 מהמוצרים נפגמו ולכן מכרה כל אחד מהם ב-5 שקלים פחות מהמחיר שבו קנתה אותו. את שאר המוצרים מכרה במחיר שהוא ברבע יותר ממחירם המקורי לכל אחד. בסה"כ הרוויחה הסוחרת בעיסקה כולה 120 שקלים. כמה מוצרים מכרה הסוחרת?

[עריכה] פתרון

נסמן ב- $\;x$ את מס' המוצרים שקנתה הסוחרת, ולכן מחיר כל מוצר הוא $\frac{800}{x}$ .

מה זאת אומרת? אם קניתי 5 עפרונות במחיר כולל של 10 שקלים אז מחיר כל עיפרון הוא $\frac{10}{5}=2$ . זאת אומרת שמחיר כל עיפרון הוא 2 שקלים.

את 8 המוצרים הפגומים מכרה הסוחרת ב-5 שקלים פחות מהמחיר ששילמה עבור כל מוצר. לכן מחיר 8 המוצרים הפגומים הוא: $8\left(\frac{800}{x}-5\right)$ .

אם כך, לסוחרת נשארו $x - 8$ מוצרים. והיא מכרה אותם במחיר שהוא ברבע יותר מהמחיר שבו קנתה אותם לכן כל מוצר היא מכרה במחיר שהוא פי אחד ורבע ממחיר הקנייה שלו. מה זאת אומרת? הסוחרת קנתה מוצר אחד במחיר $\frac{800}{x}$ ומכרה את $x - 8$ המוצרים הפגומים במחיר $\frac{5}{4}\cdot\frac{800}{x}$ . ולכן מחיר $\;x-8$ המוצרים הפגומים הוא $\frac{1000}{x}$ .