מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית הערך המוחלט

		הדף נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
		אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.	שיחה

הגדרת הערך המוחלט

בערך זה נדון על הגרף של פונקציה עם ערך מוחלט, $y=|f(x)|$. בפרק המשוואה של ערך מוחלט הגדרנו את הערך המוחלט :

$\ |x|=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$

פונקציה $y=|x|$

נצייר את הפונקציה $y=|x|$ באמצעות טבלה:

$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$x$
$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$y$

תכונות הפונקציה $y=|x|$

1. מוגדרת לכל $x$
2. פונקציה זוגית מפני $|x|=|-x|$
3. תחומי עליה: $x>0$ ותחומי ירידה: $x<0$

אי גזירות הפונקציה

הפונקציה $f(x)=|x|$ אינה גזירה בנקודה $x=0$

נציב בנוסחת הגבולות בנקודה בה $x\rightarrow x_{1}$ ונקבל $f(x)=lim_{x\rightarrow x_{1}}{\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}}$

כאשר $x_{1}\rightarrow 0^{+}$ מצדו הימין נקבל: $f(x)=lim_{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {|x|-|0|}{x-0}}={\frac {|x|}{x}}=1$

כאשר $x_{1}\rightarrow 0^{-}$ מצדו השמאלי נקבל: $f(x)=lim_{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {|x|-|0|}{x-0}}={\frac {|x|}{x}}=-1$

קבלנו שתי נגזרות שונות ולפיכך אין נגזרת.

שיקוף פונקצית הערך המוחלט לפונקציה ללא ערך מוחלט

אם נשווה את הפונקציה בערך מוחלט אל ייצוגה ללא ערך מוחלט נראה:

1. כאשר $x>0$ פונקציה $y=x$ מתלכדת עם הפונקציה $y=|x|$
2. כאשר $x<0$ פונקציה $y=x$ היא שיקוף לפונקציה $y=|x|$

דוגמה, הגרף $y=x+1$

• 
  תיאור התמונה
• 
  תיאור התמונה

פונקציה $f(x)$ בערך מוחלט

אם נתבקש לצייר את פונקציה $f(x)$ בערך מוחלט $|f(x)|$ קיימים שני שרטוטים שעלינו לבצע:

1. לשרטט את הפונקציה $f(x)$ כאשר $x>0$
2. לשרטט את הפונקציה $-f(x)$ כאשר $x<0$

דוגמה 1: בנית גרף הפונקציה$y=|x+2|+x$ פונקצית ערך מוחלט $y=|x-2|+x$ נתונה הפונקציה $y=|x+2|+x$. נשרטט את גרף הפונקציה. מאחר שהפונקציה מכילה ערך מוחלט עלינו לבחון את המקרים הקיימים. כאשר הערך מוחלט חיובי $x+2>0$ משוואת הפונקציה תראה $y=x-2+x=2x+2$ כאשר הערך המוחלט שלילי $x+2<0$ משוואות הפונקציה תראה $y=-(x-2)+x=-2$ נצייר בנפרד את גרף הפונקציה עבור כל אחד מהתחומים כאשר הערך מוחלט חיובי $x>-2$ משוואת הפונקציה תראה $y=2x+2$ כאשר הערך המוחלט שלילי $x<-2$ משוואות הפונקציה תראה $y=-2$

דוגמה 2: פונקציה עם שני בסיסים ערך מוחלט תוכן= יש לבצע בדיקה של תחומי הבסיס {{{תוכן}}}

פונקציה $f(x)=a|x-p|+k$

נחקור פונקציה בעלת ערך מוחלט מהצורה $f(x)=a|x-p|+k$ ערך k – כאשר k חיובי הפונקציה עולה k יחידות, ולהפך. ערך p – כאשר p חיובי הפונקציה תפנה שמאלה p יחידות, ולהפך. ערך a – ככל ש- aגדל כך הזווית בין הפונקציה לציר ה-x תגדל, ולהפך. (p,K) הוא ערך קודקוד הפונקציה (יש להשם לב לסימנו. במידה וערך מוחלט נתייחס אליו כחיובי).

דוגמה 3: תוכן= {{{תוכן}}}

פונקציה $-|f(x)|$ בערך מוחלט

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.