מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/חישוב שטח הכלוא בין שתי פונקציות

חישוב שטח הכלוא בין שתי פונקציות

הסבר

$\int \limits _{a}^{b}{\big (}f(x)-g(x){\big )}dx$

אין נוסחא לחישוב השטח אלא פעולת חשיבה. למשל בכדי למצוא את השטח הכלוא בתמונה:

1. נמצא את השטח של הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה- $x$ באמצעות אינטגרל ‏ $\leftarrow$ השטח המתקבל גדול מהשטח המעניין אותנו ולכן עלינו לבצע פעולת חיסור. חיסור של מה? של השטח בין פונקציה $g(x)$ לציר ה-$x$ בתחום הרצוי.
2. נמצא את השטח בין פונקציה $g(x)$ לציר ה- $x$ בתחום: $\int \limits _{a}^{b}g(x)dx$
3. עתה נבצע הפחתה בין השטחים ונקבל את השטח אותו אנו מתבקשים למצוא: $\int \limits _{a}^{b}{\big (}f(x)-g(x){\big )}dx$ . אגב, אין חשיבות לסדר בו מציבים את הפונקציות בעת החסרה. כאשר תתבצע פעולת החסרה "הפוכה" (דהיינו כאשר נחסיר את השטח הקטן מהגדול $\int \limits _{a}^{b}{\big (}g(x)-f(x){\big )}dx$) תתקבל תשובה שלילית. מאחר ששטחים הם בערך מוחלט, התשובה הסופית תהיה זהה.

דוגמא ראשונה - השטח נמצא ברביע אחד בלבד

כיתוב תמונה

אנו מתבקשים למצוא את שטח $A$ שכלוא בין הפונקציה $f(x)=x^{2}$ לפונקציה $g(x)=3x$ בתחום. התחום לא ידוע ולכן, הפעולה הראשונה שלנו תהיה לסגור את הסעיף הזה. תחילתו של התחום היא בנקודות החיתוך של אחת הפונקציות עם צירים. הנקודה היא 0 - אפשר לראות ואפשר גם לחשב על ידי השוואת אחת הפונקציות לאפס : $3x=0$ .

סיומו של התחום הוא בנקודת החיתוך של הפונקציות זו בזו:

${\begin{aligned}&3x=x^{2}\\&x^{2}-3x=0\\&x(x-3)=0\\&{\begin{cases}x=3\\x=0\end{cases}}\\\end{aligned}}$

עתה משיש לנו את התחום, עלינו רק לגלות איך למצוא את השטח. שוב, אפשר לראות כי בפעולת חיסור השטח של הפונקציה העליונה $g(x)=3x$ עם ציר ה- $x$, בשטח של הפונקציה התחתונה $f(x)=x^{2}$ עם ציר ה- $x$ נקבל את השטח המבוקש.

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{3}{\big (}g(x)-f(x){\big )}dx\\&\int \limits _{0}^{3}(3x-x^{2})dx\\&{\frac {3x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+c\\&[0-0]-{\bigg [}{\frac {3^{3}}{3}}{\bigg ]}\\&S=9\\\end{aligned}}$

דוגמא שניה - השטח נמצא ברביע העליון וברביע שתחתיו

הדוגמא הבאה, מתוארת בכדי להעמיק בתהליך החישוב שמתבצע כאשר שתי הפונקציות שרועות על כל הרביעים הנוצרים בידי הצירים.

תרגיל: חשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציה $g(x)=12-x^{2}$ לפונקציה $f(x)=x^{2}-2x-12$ .

פתרון
השטח הכלוא בין שתי הפונקציות, הנו ה"עיגול" שנוצר בין שתי הפונקציות. בכדי לגלות את השטח עלינו:
מציאת תחום - נקודות החיתוך של הפונקציות	${\begin{aligned}&12-x^{2}=x^{2}-2x-12\\&2x^{2}-2x-24=0\\&x^{2}-x-12=0\\&(x-4)(x+3)=0\\&{\begin{cases}x=-3\\x=4\end{cases}}\\\end{aligned}}$
חישוב שטח של הפונקציה העליונה $g(x)$ בתחום: שטח עליון + שארית מיותרת $A$ - שארית שטח תחתון מיותר $B$ (כיון שהשארית מתחת לציר ה– $x$).	${\begin{aligned}&S_{1}+A-B\\&\int \limits _{-3}^{4}(12-x^{2})dx\\&=12x-{\frac {x^{3}}{3}}{\bigg |}_{-3}^{4}\\&={\bigg [}12\cdot (-3)-{\frac {(-3)^{3}}{3}}{\bigg ]}-{\bigg [}12\cdot 4-{\frac {4^{3}}{3}}{\bigg ]}\\&=[-36+9]-{\bigg [}48-{\frac {64}{3}}{\bigg ]}\\&=-53{\frac {2}{3}}\\\end{aligned}}$
חישוב שטח של הפונקציה התחתונה $f(x)$ בתחום: שטח תחתון –שארית שטח תחתון $B$ + שארית מיותרת $A$ .	${\begin{aligned}&-S_{2}-B+A\\&\int \limits _{-3}^{4}(x^{2}-2x-12)dx\\&={\bigg (}{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {2x^{2}}{2}}-12x{\bigg )}{\bigg |}_{-3}^{4}\\&={\bigg (}{\frac {x^{3}}{3}}-x^{2}-12x{\bigg )}{\bigg |}_{-3}^{4}\\&={\bigg [}{\frac {(-3)^{3}}{3}}-(-3)^{2}-12\cdot (-3){\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {4^{3}}{3}}-4^{2}-12\cdot 4{\bigg ]}\\&=(-9-9+36)-{\bigg (}{\frac {64}{3}}-16-48{\bigg )}\\&=60{\frac {2}{3}}\\\end{aligned}}$
החסרת השטחים, לקבלת השטח הרצוי
${\begin{aligned}&S_{1}+A-B\\-\\&{\underline {-S_{2}-B+A}}\\&=S_{1}+A-B+S_{2}+B-A\\&=S_{1}+S_{2}\\\end{aligned}}$	$-53{\frac {2}{3}}-60{\frac {2}{3}}=-114{\frac {1}{3}}$
במקרה הנ"ל יכולנו לקצר את פעולת החישוב על-ידי כך, שמראש היינו מחסרים את הפונקציות זו בזו ובתום הפעולה הנו מחשבים את האינטגרל הרצוי. זאת כיון שהשטח הרצוי נמצא בין שתי הפונקציות, באותו תחום ופרוש על הרביע העליון והתחתון. בדוגמא הבאה נראה מצב בו לא נוכל להעזר בשיטה זו כיון שאחד הסעיפים אינו מתקיים. ${\begin{aligned}&\int (12-x^{2}-x^{2}+2x+12)dx\\&\int (-2x^{2}+2x+24)dx\\&-{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{2}}{2}}+24x{\bigg |}_{-3}^{4}\\&-{\frac {2x^{3}}{3}}+x^{2}+24x{\bigg |}_{-3}^{4}\\&{\bigg [}-{\frac {2\cdot (-3)^{3}}{3}}+(-3)^{2}+24\cdot (-3){\bigg ]}-{\bigg [}-{\frac {2\cdot 4^{3}}{3}}+4^{2}+24\cdot 4{\bigg ]}\\&[18+9-72]-{\bigg [}-{\frac {128}{3}}+16+96{\bigg ]}\\&[-45]-{\bigg [}69{\frac {1}{3}}{\bigg ]}\\&-114{\frac {1}{3}}\\\end{aligned}}$

דוגמא שלישית - השטח כלוא ברביע אחד

בחלק זה, נציג מצב בו ה"נוסחא" של חיסור השטחים זה בזה אינה מתקיימת בגלל שהתחום הנתון אינו זהה עבור שתי הפונקציות.

תרגיל: מצא את השטח שכלוא ברביע הרביעי בין ציר ה- $x$ , הפונקציה: $f(x)=4-x^{2}$ והפונקציה $g(x)=x^{2}-2x-8$ .

פתרון
התחום לא ידוע ולכן, הפעולה הראשונה שלנו תהיה לסגור את סעיף זה. תחילת התחום מחל מראשית הצירים וסיומו בנקודת החיתוך של הפונקציות.	${\begin{aligned}&x^{2}-2x-8=4-x^{2}\\&2x^{2}-2x-12=0/:2\\&x^{2}-x-6=0\\&(x-3)(x+2)=0\\&{\begin{cases}x=3\\x=-2\end{cases}}\\\end{aligned}}$
עתה משיש לנו את התחום, עלינו רק לגלות איך למצוא את השטח. בהבטה על הרביע, אפשר לראות כי החלק המבוקש מתקבל בחיסור שטח האינטגרל $g(x)=x^{2}-2x-8$ , משטח של האינטגרל $g(x)=3x$. נמצא את השטח הכלוא בין הפונקציה $g(x)=x^{2}-2x-8$ לציר $x$ :	${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{3}g(x)dx\\&\int \limits _{0}^{3}(x^{2}-2x-8)dx\\&{\frac {x^{3}}{3}}-x^{2}-8x+C\\&\left\vert [0]-{\bigg [}{\frac {3^{3}}{3}}-3^{2}-8{\bigg ]}\right\vert \\&S_{1}=24\\\end{aligned}}$
נמצא את התחום לשטח המיותר. תחילתו של השטח המיותר מתחיל בנקודת החיתוך של הפונקציה $f(x)=4-x^{2}$ עם ציר $x$ וסיומו בנקודה $x=3$ . נמצא את נקודת החיתוך:	${\begin{aligned}&4-x^{2}=0\\&x^{2}=4\\&{\begin{cases}x=2\\x=-2\end{cases}}\\\end{aligned}}$
נמצא את השטח	${\begin{aligned}&\int \limits _{2}^{3}f(x)dx\\&\int \limits _{2}^{3}(4-x^{2})dx\\&4x-{\frac {x^{3}}{3}}+C\\&{\bigg [}4\cdot 2-{\frac {2^{3}}{3}}{\bigg ]}-{\bigg [}4\cdot 3-{\frac {3^{3}}{3}}{\bigg ]}\\&S_{2}=2{\frac {1}{3}}\\\end{aligned}}$
נחסיר את השטח הראשון בשני	$24-2{\frac {1}{3}}=21{\frac {2}{3}}$

אם היינו מחשבים את השטח באמצעות הנוסחא, היינו כוללים את השטח שנמצא מעל ציר ה- $x$ ($S_{3}$) שאותו כמובן, אין ברצוננו לכלול בחישוב. לכן, חשוב, לשים לב, היכן נמצאת הפונקציה? האם השטח כולל את השטח העליון והתחתון? האם מדובר על אותו תחום?
חשוב! לחשוב: איך לחשב את השטח?
ורק לאחר מכן, לבצע את פעולת החישוב, בהתאם לתכנון, על-מנת למנוע טעויות!

דגשים

1. לשים לב איזו פונקציה גוזרים, עדיף לרשום לעצמנו פונקציה מחייכת ועצובה.
2. ה"נוסחא" פועלת כאשר השטח הכלוא בין שתי הפונקציות נמצא באותו תחום, מעל ומתחת לציר x. אם אחד מהגורמים אינו מתקיים, תהיה טעות בתרגיל ולכן, לפני שימוש אוטומטי בנוסחא לחשוב היטב מה בדיוק מבקשים ורק בתום החשיבה להחליט האם אפשר להשתמש ב"נוסחא".