חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות

בפרק זה יוצגו הוכחות למשפטים שהוצגו בפרק הגבולות ללא הוכחה, כדוגמת חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'.

חוקי הגבולות

את כל חוקי הגבולות שהוצגו קודם לכן ניתן להוכיח באמצעות ההגדרה המדויקת של הגבול. נוכיח כמה מהם בדרך זו.

חוקים בסיסיים

הגבול של קבוע

אמרנו כי אם $c$ הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:

משפט: הגבול של פונקציה קבועה $\lim _{x\to a}c=c$

זהו חוק פשוט אך חשוב וקל להוכיחו.

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . נראה שקיים $\delta >0$ מתאים כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}f(x)-c{\Big |}<\varepsilon$ .

אבל כאן הפונקציה היא הקבוע $c$ , לכן ${\Big |}f(x)-c{\Big |}=|c-c|=0<\varepsilon$ שכן . לכן החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזו $\delta$ נבחר. $\blacksquare$

הגבול של פונקציית הזהות

קבענו כי הגבול של פונקציית הזהות $I(x)=x$ שווה ל- $a$ , כאשר $a$ הוא המספר אליו $x$ שואף, כלומר:

משפט: הגבול של פונ' הזהות $\lim _{x\to a}x=a$

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . נראה שקיים $\delta >0$ מתאים כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|I(x)-a|<\varepsilon$ .

אבל כאן הפונקציה היא פונקציית הזהות $I(x)=x$ , לכן $|I(x)-a|=|x-a|$ . נבחר $\delta =\varepsilon$ ואז $|x-a|=|I(x)-a|<\delta =\varepsilon$ . $\blacksquare$

אריתמטיקה של גבולות

משפט: אריתמטיקה של גבולות סופיים נניח $f(x),g(x)$ פונקציות המוגדרות בסביבת נקודה $a$ ובעלות גבולות סופיים $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M$ . אז: $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}=L\pm M$ . לכל קבוע $c$ :‏ $\lim _{x\to a}{\Big [}c\cdot f(x){\Big ]}=c\cdot L$ . $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)=L\cdot M$ . אם $M\neq 0$ אז: $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}={\frac {L}{M}}$ .

נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:

סכום והפרש גבולות

אם הגבולות $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M$ קיימים אז גבול הסכום וההפרש שלהם הוא סכום והפרש הגבולות, כלומר $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)=L+M$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . נראה שקיים $\delta >0$ מתאים כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigg |}f(x)\pm g(x)-(L\pm M){\bigg |}<\varepsilon$ . נסדר מעט אי-שוויון זה ונקבל:

${\bigg |}f(x)\pm g(x)-(L\pm M){\bigg |}={\bigg |}f(x)-L\pm g(x)\mp M{\bigg |}\ {\color {red}\leq }\ {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}$

במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש $a,b\in \mathbb {R}$ אז $|a+b|\leq |a|+|b|$ .

אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- ${\frac {\varepsilon }{2}}$ , אז נקבל ${\bigg |}{\Big (}f(x)+g(x){\Big )}-(L+M){\bigg |}<\varepsilon$ כדרוש.

מכיון שנתונים לנו הגבולות של $f(x)$ ו- $g(x)$ , אין זו בעיה להגבילם.

1. $\lim _{x\to a}f(x)=L$ , כלומר קיים $\delta _{1}$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .
2. $\lim _{x\to a}g(x)=M$ , כלומר קיים $\delta _{2}$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים ${\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ , לפיכך אם $0<|x-a|<\delta$ אז מתקיים $0<|x-a|<\delta _{1}$ וגם $0<|x-a|<\delta _{2}$ כך שמתקיים ${\bigg |}f(x)-L_{1}{\bigg |}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ וגם ${\bigg |}g(x)-L_{2}{\bigg |}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

${\bigg |}f(x)\pm g(x)-(L\pm M){\bigg |}\ {\color {red}\leq }\ {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\big |}\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. $\blacksquare$

מכפלת גבול בקבוע

אם הגבול $\lim _{x\to a}f(x)=L$ קיים, אזי גבול המכפלה בקבוע שווה למכפלת הקבוע בגבול הפונקציה, כלומר $\lim _{x\to a}{\Big [}c\cdot f(x){\Big ]}=c\cdot L$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ .

אם $c=0$ הטענה מיידית: ${\bigg |}0\cdot f(x)-0\cdot L{\bigg |}=0\ {\color {red}<}\ \varepsilon$

אם $c\neq 0$ נראה שקיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigg |}c\cdot f(x)-c\cdot L{\bigg |}<\varepsilon$ .

${\bigg |}c\cdot f(x)-c\cdot L{\bigg |}={\bigg |}c{\big (}f(x)-L{\big )}{\bigg |}=|c|\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}$

$\lim _{x\to a}f(x)=L$ , לכן קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{|c|}}$ .

${\bigg |}c\cdot f(x)-c\cdot L{\bigg |}=|c|\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}\ {\color {red}<}\ |c|\cdot {\frac {\varepsilon }{|c|}}=\varepsilon$

לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול. $\blacksquare$

מכפלת גבולות

החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע).

אם הגבולות $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M$ קיימים אז גבול מכפלת הפונקציות שווה למכפלת גבולות הפונקציות, כלומר $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)=L\cdot M$ .

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . נראה שקיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigg |}f(x)g(x)-L\cdot M{\bigg |}<\varepsilon$ .

${{\bigg |}f(x)g(x)-L\cdot M{\bigg |}={\Bigg |}f(x)g(x)-L\cdot g(x)+L\cdot g(x)-L\cdot M{\Bigg |}={\Bigg |}g(x){\bigl (}f(x)-L{\bigr )}+L{\bigl (}g(x)-M{\bigr )}{\Bigg |}}\ {\color {red}\leq }$

${\bigg |}g(x){\bigl (}f(x)-L{\bigr )}{\bigg |}+{\bigg |}L{\bigl (}g(x)-M{\bigr )}{\bigg |}={\Big |}g(x){\Big |}\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|\cdot {\Big |}g(x)-M{\Big |}$

$\lim _{x\to a}g(x)=M$ , לכן היא חסומה וקיים $\delta _{1}>0$ כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: ${\Big |}g(x){\Big |}<A$ לכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ וגם $|L|<A$ , עבור $A>0$ כלשהו.

קיים $\delta _{2}>0$ כך שמתקיים ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ לכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ .

קיים $\delta _{3}>0$ כך שמתקיים ${\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ לכל $0<|x-a|<\delta _{3}$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$ . לפיכך,

${\bigg |}f(x)g(x)-L\cdot M{\bigg |}\ {\color {red}\leq }\ {\Big |}g(x){\Big |}\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|\cdot {\Big |}g(x)-M{\Big |}\ {\color {red}<}\ A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon$

$\blacksquare$

מנת גבולות

אם הגבולות $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M\neq 0$ קיימים אז גבול מנת הפונקציות שווה למנת גבולות הפונקציות, כלומר $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to a}f(x)}{\lim \limits _{x\to a}g(x)}}={\frac {L}{M}}$ .

הוכחה

יש להראות כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|<\varepsilon$ . על-ידי מכנה משותף נקבל:

$\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|=\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{g(x)}}+{\frac {L}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{g(x)}}\right|+\left|{\frac {L}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|={\frac {|M|\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|\cdot {\Big |}g(x)-M{\Big |}}{|M|\cdot {\Big |}g(x){\Big |}}}$

קיים $A>0$ כלשהו כך שמתקיימים המקרים $|L|<A$ וגם $|M|<A$ .

$\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ {\frac {|M|\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|\cdot {\Big |}g(x)-M{\Big |}}{|M|\cdot {\Big |}g(x){\Big |}}}\ {\color {red}<}\ {\frac {A}{|M|}}\cdot {\frac {{\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}}{{\Big |}g(x){\Big |}}}$

• קיים $\delta _{1}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{1}$ מתקיים ${\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {|M|}{2}}$ . מכאן:

$|M|={\bigg |}M-g(x)+g(x){\bigg |}\ {\color {red}\leq }\ {\Big |}g(x)-M{\Big |}+{\Big |}g(x){\Big |}\ {\color {red}<}\ {\frac {|M|}{2}}+{\Big |}g(x){\Big |}\quad \implies \quad {\Big |}g(x){\Big |}\ {\color {red}>}\ |M|-{\frac {|M|}{2}}={\frac {|M|}{2}}\quad \implies \quad {\frac {1}{{\Big |}g(x){\Big |}}}<{\frac {2}{|M|}}$

• קיים $\delta _{2}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{2}$ מתקיים ${\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\tfrac {M^{2}}{4A}}\varepsilon$ .

• קיים $\delta _{3}>0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta _{3}$ מתקיים ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\tfrac {M^{2}}{4A}}\varepsilon$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$ . לפיכך,

$\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {L}{M}}\right|\ {\color {red}\leq }\ {\frac {|M|\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|\cdot {\Big |}g(x)-M{\Big |}}{|M|\cdot {\Big |}g(x){\Big |}}}\ {\color {red}<}\ {\frac {A}{|M|}}\cdot {\frac {{\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}}{{\Big |}g(x){\Big |}}}\ {\color {red}<}\ {\frac {A}{|M|}}\cdot {\frac {2}{|M|}}\cdot \left({\tfrac {M^{2}}{4A}}\varepsilon +{\tfrac {M^{2}}{4A}}\varepsilon \right)=\varepsilon$

$\blacksquare$

משפטים מתקדמים

מונוטוניות של גבולות

משפט: מונוטוניות של גבולות אם $f(x)\leq g(x)$ לכל $x$ בקטע פתוח כלשהו המכיל את $a$ (מלבד אולי ב- $a$ עצמו) ואם הגבולות $\lim _{x\to a}f(x)=L\ ,\ \lim _{x\to a}g(x)=M$ קיימים, אזי $L\leq M$ .

הוכחה

נניח בשלילה כי $L>M$ .

החוק להפרש גבולות אומר כי $\lim _{x\to a}{\Big [}g(x)-f(x){\Big ]}=M-L$ , לכן לכל $\varepsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שמתקיים ${\bigg |}g(x)-f(x)-(M-L){\bigg |}<\varepsilon$ כאשר $0<|x-a|<\delta$ .

ניקח למטרותינו בהוכחה זו $\varepsilon =L-M>0$ וקיים עבורו $\delta >0$ כך שמתקיים ${\bigg |}g(x)-f(x)-(M-L){\bigg |}<L-M$ כאשר $0<|x-a|<\delta$ .

לכל $a\in \mathbb {R}$ מתקיים $a\leq |a|$ , לכן כאשר $0<|x-a|<\delta$ מתקיים ${\bigg |}g(x)-f(x)-(M-L){\bigg |}<L-M$ .

מהעברת אגפים נקבל $g(x)<f(x)$ (כאשר $0<|x-a|<\delta$).

הדבר עומד בסתירה לנתון $f(x)\leq g(x)$ ולכן הנחתנו כי $L>M$ שגויה.

לכן $L\leq M$ . $\blacksquare$

כלל הסנדוויץ'

ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:

משפט: כלל הסנדוויץ' אם $f(x),g(x),h(x)$ הן פונקציות המקיימות $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ וכן $\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L$ אז הגבול של $f$ בנקודה $a$ קיים וערכו $\lim _{x\to a}f(x)=L$

למרות שמדובר בכלל רב-עצמה, ההוכחה שלו היא פשוטה ואלגנטית.

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ .

$\lim _{x\to a}g(x)=L$ , לכן קיים $\delta _{1}>0$ כך שמתקיים ${\Big |}g(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ כאשר $0<|x-a|<\delta _{1}$ . כלומר $L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon$ כאשר $0<|x-a|<\delta _{1}$ .

$\lim _{x\to a}h(x)=L$ , לכן קיים $\delta _{2}>0$ כך שמתקיים ${\Big |}h(x)-L{\big |}<\varepsilon$ כאשר $0<|x-a|<\delta _{2}$ . כלומר $L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon$ כאשר $0<|x-a|<\delta _{1}$ .

נבחר $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ . לפיכך:

$L-\varepsilon <g(x)\leq f(x)\leq h(x)<L+\varepsilon$

מכאן,

$L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$

לפיכך ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ כאשר $0<|x-a|<\delta$ . לכן $\lim _{x\to a}f(x)=L$ . $\blacksquare$

שימושים לכלל הסנדוויץ'

המשפט הבא הנו משפט חשוב מאוד, אשר הוכחתו קלה בעזרת כלל הסנדוויץ':

משפט: פונקציה אפסה מוכפלת בחסומה תהיינה $f(x),g(x)$ פונקציות המוגדרות בקטע המכיל נקודה $a$ (אך לא בהכרח בנקודה) כך ש- $\lim _{x\to a}f(x)=0$ וכן $g(x)$ חסומה בקטע. אז קיים הגבול $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=0$ .

הוכחה

$g(x)$ חסומה בקטע, נניח ע"י חסם $M$ כך ש- $-M\leq g(x)\leq M$ . לכן $-M\cdot f(x)\leq g(x)\cdot f(x)\leq M\cdot f(x)$ .

מקיום הגבול $\lim _{x\to a}f(x)=0$ נסיקים בעזרת אריתמטיקה של הגבולות כי

$\lim _{x\to a}{\Big [}M\cdot f(x){\Big ]}=M\cdot \lim _{x\to a}f(x)=0$

$\lim _{x\to a}{\Big [}-M\cdot f(x){\Big ]}=-M\cdot \lim _{x\to a}f(x)=0$

ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ' $\lim _{x\to a}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=0$ . $\blacksquare$

שימו לב שעל $g(x)$ אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים.

דוגמא

הוכח כי קיים הגבול $\lim _{x\to 0}\left[x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right]$ ומצא את ערכו.

נסמן $f(x)=x\ ,\ g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ .

ע"פ משפט "גבול של פונקציית הזהות" ($I(x)=x$) נקבל $\lim _{x\to 0}f(x)=0$ , בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.

משפטי גבולות באינסוף

הנושא הקודם בפרק זה חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול

בחזרה לעמוד הפתיחה חשבון אינפיניטסימלי/גבולות

הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: חשבון אינפיניטסימלי/רציפות