אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים קדמיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

נמצא שני קירובים ראשונים על פי הפרשים קדמיים באמצעות הקשרים בין האופרטורים שפיתחנו.

$\ hf'(x_i)=hDf(x_i)= \ln Ef(x_i)= \ln (1+\Delta)f(x_i) = \left[ \Delta- {\Delta^2\over 2}+ {\Delta^3\over 3}- {\Delta^4\over 4}+... \right] f(x_i)$

[עריכה] נגזרת ראשונה

קירוב לינארי:

$\ hf'(x_i)\approx \Delta f(x_i)= f(x_{i+1})-f(x_i)\quad\Rightarrow\quad f'(x_i)={f(x_{i+1})-f(x_i)\over h}$

קירוב ריבועי:

$\ hf'(x_i)=\left( \Delta-{\Delta^2\over 2}\right)f(x_i)= (f(x_{i+1})-f(x_i)) -{1\over 2}(f(x_{i+2})-2f(x_{i+1})+f(x_i))$

$\ \Rightarrow f'(x_i)={-f(x_{i+2})+ 4f(x_{i+1})- 3f(x_i) \over 2h}$

קירוב משולש:

$\ f'(x_i)= \frac{2f(x_{i+3})-9f(x_{i+2})+18f(x_{i+1})-11f(x_i)}{6h}$

[עריכה] נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

נפתח תחילה ביטוי עבור הנגזרת:

$\ f'(x_i+\theta h)= DE^{\theta}f(x_i)= D\left[ 1+\theta\Delta+ \tfrac{\theta(\theta-1)}{2}\Delta^2+... \right]f(x_i)$

נשתמש בקשר:

$\ D={1\over h} \ln (1+\Delta)= {1\over h}\left(\Delta -\tfrac{\Delta^2}{2}+ \tfrac{\Delta^3}{3}-... \right)$

ונקבל:

$\ f'(x_i+\theta h)= {1\over h}\left(\Delta -\tfrac{\Delta^2}{2}+ \tfrac{\Delta^3}{3}-...\right) \left[1+\theta\Delta+ \tfrac{\theta(\theta-1)}{2}\Delta^2+... \right]f(x_i)=$

$\ ={1\over h}\left[\Delta+ \Delta^2\left(\theta-\tfrac{1}{2}\right)+ \Delta^3(...)+... \right]f(x_i)$

[עריכה] נגזרת שנייה

$\ h^2f''(x_i)=(hD)^2f(x_i)= (\ln E)^2f(x_i)= [\ln (1+\Delta)]^2f(x_i)=$

$\ =\left[ \Delta- {\Delta^2\over 2}+ {\Delta^3\over 3}- {\Delta^4\over 4}+... \right]^2f(x_i)=$

$\ =\left[ \Delta^2- \Delta^3+ {11\over 12}\Delta^4- {5\over 6}\Delta^5+ {137\over 180}\Delta^6+... \right]f(x_i)$

קירוב לינארי:

$\ \Rightarrow f''(x_i)\approx {1\over h^2}\Delta^2f(x_i)= {1\over h^2}[f(x_{i+2})- 2f(x_{i+1})+ f(x_i)]$

קירוב ריבועי:

$\ \Rightarrow f''(x_i)\approx {1\over h^2}(\Delta^2- \Delta^3)f(x_i)= {1\over h^2}[f(x_{i+3})- 3f(x_{i+2})+ 3f(x_{i+1})- f(x_i)]$

אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים קדמיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] נגזרת ראשונה

[עריכה] נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

[עריכה] נגזרת שנייה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא