אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים מרכזיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

$\ hf'(x_i)=hDf(x_i)=2\sinh^{-1}{\delta\over 2}f(x_i)= 2\left[ {\delta\over 2}-{1\over 6}\left({\delta\over 2}\right)^3+ {3\over 40}\left({\delta\over 2}\right)^5+... \right]f(x_i)$

קירוב לינארי:

$\ f'(x_i)\approx {\delta f(x_i) \over h}= {f(x_{i+{1\over 2}})- f(x_{i-{1\over 2}})\over h}$

קיבלנו ביטויים המערבים נקודות ביניים אשר אינן נתונות לנו, ולכן הנוסחה הנ"ל איננה מעשית. נשתמש בקשר $\ \mu\left( \sqrt{1+ {\delta^2\over 4}} \right)^{-{1\over 2}}=1$ כדי לקבל נוסחה שמישה:

$\ hf'(x_i)=\mu\left( 1+ {\delta^2\over 4} \right)^{-{1\over 2}} 2\sinh^{-1}{\delta\over 2} f(x_i)=$

$\ =\mu\left[ 1+\left(-{1\over 2}\right){\delta^2\over 4}+ \frac{\left(-{1\over 2}\right)\left(-{3\over 2}\right)}{2!} \left({\delta^2\over 4}\right)^2+... \right] 2 \left[ {\delta\over 2}- {1\over 6}\left({\delta\over 2}\right)^3+... \right]f(x_i)=$

$\ =\left[ \mu\delta -{1\over 6}\mu\delta^3+ {1\over 30}\mu\delta^5+... \right]f(x_i)$

קירוב לינארי:

$\ f'(x_i)\approx {1\over h}\mu\delta f(x_i)= {1\over h}\mu\left[ f(x_{i+{1\over 2}})+ f(x_{i-{1\over 2}}) \right]=$

$\ {1\over 2h}\left[ \left(f(x_{i+1})+f(x_i)\right)- \left(f(x_i)+f(x_{i-1})\right) \right]= {1\over 2h}\left[f(x_{i+1})-f(x_{i-1})\right]$

[עריכה] נגזרת שנייה

$\ h^2f''(x_i)= (hD)^2f(x_i)= \left[ 2\sinh^{-1}{\delta\over 2} \right]^2f(x_i)=$

$\ =4\left[ {\delta\over 2}- {1\over 6}\left({\delta\over 2}\right)^3+... \right]^2f(x_i)= \left(\delta^2-{1\over 12}\delta^4+... \right)f(x_i)$

$\ \Rightarrow f''(x_i)\approx {1\over h^2}\delta^2f(x_i)= {1\over h^2}[f(x_{i+1})- 2f(x_i)+ f(x_{i-1})]$

נשים לב כי בנוסחה הנ"ל אין צורך להשתמש ב-μ מכיוון שחזקות זוגיות של δ תלויות בנקודות נתונות (i-1, i, i+1, ...), בניגוד לחזקות אי זוגיות, אשר תלויות בנקודות ביניים (i+1/2, i-1/2 ...).

אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים מרכזיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] נגזרת שנייה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא