אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< אנליזה נומרית | גזירה נומרית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

[עריכה] גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

$\ hf'(x_i)= hDf(x_i)= \ln Ef(x_i)= \ln (1-\nabla)^{-1}f(x_i)=$

$\ =-\ln (1-\nabla)f(x_i)= \left[ \nabla+ {\nabla^2\over 2}+ {\nabla^3\over 3}+ {\nabla^4\over 4}+... \right]f(x_i)$

בדומה לפיתוחים הנ"ל, נמצא נוסחאות מקורבות לנגזרות:

[עריכה] נגזרת ראשונה

קירוב לינארי:

$\ f'(x_i)\approx {1\over h}\nabla f(x_i)= {1\over h}[f(x_i)-f(x_{i-1})]$

קירוב ריבועי:

$\ f'(x_i)={f(x_{i-2})- 4f(x_{i-1})+ 3f(x_i) \over 2h}$

[עריכה] נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

$\ hf'(x_0+\theta h)= hDE^{\theta}f(x_0)= -\ln(1-\nabla)(1-\nabla)^{-\theta}f(x_0)=$

$\ = \left[ \nabla+ \frac{\nabla^2}{2}+ \frac{2\nabla^3}{3!}+... \right] \left[ 1+\theta\nabla+ \frac{\theta(\theta+1)}{2}\nabla^2+... \right] f(x_0)$

$\ \Rightarrow\quad f'(x_0+\theta h)= {1\over h} \left[ \nabla+ \frac{2\theta+1}{2}\nabla^2+ \frac{3\theta^2+6\theta+2}{6}\nabla^3+... \right] f(x_0)$

[עריכה] נגזרת שנייה

$\ h^2 f''(x_i) \ =\ \left[-\ln (1-\nabla)\right]^2 \ =\ \left[\nabla^2 + \nabla^3 + {11\over 12}\nabla^4 + {5\over 6}\nabla^5 + {137\over 180}\nabla^6 + ...\right]f(x_i)$

$\ f''(x_i)= {1\over h^2}[f(x_{i-2})- 2f(x_{i-1})+ f(x_i)]$

[עריכה] נגזרת שנייה בנקודת ביניים

$\ f'(x_0+\theta h)= {1\over h^2} \left[ \nabla+ \frac{\nabla^2}{2}+ \frac{2\nabla^3}{3!}+... \right] \left[ \nabla+ \frac{2\theta+1}{2}\nabla^2+ \frac{3\theta^2+6\theta+2}{6}\nabla^3+... \right] f(x_0)$

$\ \Rightarrow\quad f''(x_0+\theta h)= {1\over h^2} \left[ \nabla^2+ (\theta+1)\nabla^3+ \frac{6\theta^2+18\theta+11}{12}\nabla^4+... \right] f(x_0)$

אנליזה נומרית/גזירה נומרית/גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] גזירה באמצעות הפרשים אחוריים

[עריכה] נגזרת ראשונה

[עריכה] נגזרת ראשונה בנקודת ביניים

[עריכה] נגזרת שנייה

[עריכה] נגזרת שנייה בנקודת ביניים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא