אלגברה לינארית/משפט הממדים

משפט הממדים

משפט: יהיו $U,W$ תתי מרחב של $V$ מעל שדה $\mathbb {F}$ . אזי $\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=\dim(U+W)$

$\dim U=k$, $\dim W=l$ ו $\dim U\cap W=m$.

יהי $\left\{z_{1},.,z_{m}\right\}$ בסיס של $U\cap W$, לכן היא תת קבוצה בת"ל של $U$.

לכן קיימים $u_{m+1},..,u_{k}\in U$ כך ש $\left\{z_{1},..,z_{m},u_{m+1},..,u_{k}\right\}$ מהווה בסיס של $U$.

בדומה קיימים $w_{m+1},..,w_{l}\in W$ כך ש $\left\{z_{1},..,z_{m},w_{m+1},..,w_{l}\right\}$ מהווה בסיס של $W$.

נראה ש $\left\{z_{1},..,z_{m},u_{m+1},..,u_{k},w_{m+1},..,w_{l}\right\}$ מהווה בסיס של $U+W$.

קבוצה פורשת

יהי $v\in U+W$, אז קיימים $w\in W,u\in W$ כך שלפי סגירות לחיבור $v=u+w$.

מכאן קיימים $c_{1},..,c_{k}\in \mathbb {F}$ כך ש $u=c_{1}z_{1}+..+c_{k}u_{k}$ בדומה קיימים $d_{1},..,d_{l}\in \mathbb {F}$ כך ש$w=d_{1}z_{1}+..+d_{l}w_{l}$

מכאן:$v=u+w=\left(c_{1}+c_{1}\right)z_{1}+...+\left(c_{m}+d_{m}\right)z_{m}+c_{m+1}u_{m+1}+...c_{k}u_{k}+d_{m+1}w_{m+1}...d_{l}w_{l}$ ולכן \spn $S=U+W$ בת"ל.

יהיו $a_{1},..,a_{m},b_{m+1},..,b_{k},c_{m+1},..,c_{l}\in \mathbb {F}$ כך ש $a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}+c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}=0$

אז נעביר אגפים:$W\ni \overbrace {c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}} {\overset {*}{=}}\overbrace {-\left(a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}\right)} \in U$

נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.

$c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}\in U\cap W$, ולכן קיימים $d_{1},..,d_{m}\in \mathbb {F}$ כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של $U\cap W$את הביטוי באגף השמאלי: $c_{m+1}w_{m+1}+..+c_{l}w_{l}=d_{1}z_{1}+...+d_{m}z_{m}$

נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין: $d_{1}z_{1}+...+d_{m}z_{m}-\left(c_{m+1}w_{m+1}+..+c_{l}w_{l}\right)=0$

שזהו בדיוק הבסיס של $W$. מאחר ש$\left\{z_{1},..,z_{n},w_{m+1},..,w_{l}\right\}$ בת"ל אנו מסיקים כי$d_{1}=..=d_{m}=c_{m+1}=..=c_{l}=0$

נציב ב * $c_{m+1}=..=c_{l}=0$ ונקבל: $a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}=0$

מאחר ש-$\left\{z_{1},..,z_{n},u_{m+1},..,u_{k}\right\}$ בת"ל אז $a_{1}=..=a_{m}=b_{m+1}=..=b_{k}=0$

לפיכך הוכחנו כי $S$ הוא בסיס של $U+W$.

נוכיח את נכונות משפט המימדים:

מספר האיברים ב S שווה ל ${\overset {Z}{\overbrace {m} }}+{\overset {U}{\overbrace {\left(k-m\right)} }}+{\overset {W}{\overbrace {\left(l-m\right)} }}=k+l-m\dim U+\dim W=k+l-m=\dim U\cap W+\dim U+W$

{{{2}}}

הוכחה

נסמן: $n=\dim(U)\ ,\ m=\dim(W)\ ,\ k=\dim(U\cap W)$ .

יהי $A=\{a_{1},\dots ,a_{k}\}$ בסיס ל- $U\cap W$ . אזי $A$ בת"ל. כיון שכל בת"ל מוכלת בבסיס, קיימות קבוצות $B=\{b_{k+1},\dots ,b_{n}\}\ ,\ C=\{c_{k+1},\dots ,c_{m}\}$ כך ש- $A\cup B$ בסיס ל- $U$ , ו- $A\cup C$ בסיס ל- $W$ .

יהי $x\in (U+W)$ . אזי קיימים $u\in U,w\in W$ כך ש- $\ x=u+w$ . בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים כך ש-$u=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\beta _{i}b_{i},w=\sum _{i=1}^{k}\gamma _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{m}\delta _{i}c_{i}$

נקבל $x=\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+\gamma _{i})a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{i=k+1}^{m}\delta _{i}c_{i}$ , כלומר, $x$ הוא צ"ל של $A\cup B\cup C$ . לכן, $A\cup B\cup C$ פורשת את $U+W$ .

נניח בשלילה שיש סקלרים, לא כולם אפס כך ש- $\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{i=k+1}^{m}\gamma _{i}c_{i}={\vec {0}}$ . נסמן $w=-\sum _{i=k+1}^{m}\gamma _{i}c_{i}$ . אזי $w\in W$ קיימים סקלרים כך ש- $w=\sum _{i=1}^{k}\delta _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}0b_{i}$

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל $\forall i:\beta _{i}=0$ . באופן דומה, נקבל $\forall i:\gamma _{i}=0$

נקבל: $\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}a_{i}={\vec {0}}$, ומכך ש- $A$ בת"ל, נקבל $\forall i:\alpha _{i}=0$ .

קיבלנו, שכל המקדמים $\alpha ,\beta ,\gamma$ מתאפסים, ולכן, $A\cup B\cup C$ בת"ל.

לכן, $A\cup B\cup C$ בסיס ל- $U+W$ , וכיון ש- $\#(A\cup B\cup C)=n+m-k$ נקבל $\dim(U+W)=n+m-k$

לכן, $\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=\dim(U+W)$