מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/נוסחאות הכפל הקצר

נוסחאות בחזקת 2

נוסחאות אלו הן נוסחאות אשר מאפשרות לפתוח סוגריים (או לקבץ אברים) של ביטויים נפוצים במהירות וללא טעויות. נוסחאות אלו הן עבור תבניות בחזקה 2.

דו-אבר בריבוע

משמעות גאומטרית

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$

הוכחה

$(a\pm b)^{2}=(a\pm b)(a\pm b)$

על-פי חוק הפילוג:

$=a(a\pm b)\pm b(a\pm b)$

שוב על-פי חוק הפילוג:

${\begin{matrix}=aa+ab+ba+bb\\\\=a^{2}\pm ab\pm ba+b^{2}\end{matrix}}$

על-פי חוק החילוף:

${\begin{matrix}=a^{2}\pm ab\pm ab+b^{2}\\\\=a^{2}\pm 2(ab)+b^{2}\end{matrix}}$

על-פי חוק הקיבוץ:

$=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$

הפרש ריבועים

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

הוכחה

על-פי הגדרת החיסור:

$(a+b)(a-b)=(a+b)(a+(-b))$

על-פי חוק הפילוג:

$=a(a+(-b))+b(a+(-b))$

שוב על-פי חוק הפילוג:

${\begin{matrix}=aa+a(-b)+ba+b(-b)\\\\=a^{2}-ab+ba-b^{2}\end{matrix}}$

על-פי חוק החילוף:

${\begin{matrix}=a^{2}-ab+ab-b^{2}\\\\=a^{2}-b^{2}\end{matrix}}$

סיכום נוסחאות

${\begin{matrix}(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}\\a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\end{matrix}}$

תבניות בחזקה 3

${\begin{matrix}(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}\\a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})\end{matrix}}$

כפי שנראה לעיל, התוצאה היא פולינום בשני משתנים שונים וניתן להשתמש בנוסחאות אלו בכל מקרה בו נרצה לפתוח סוגריים ולקבץ אברים. נוסחאות אלו הינן בעלות חשיבות רבה ומועיל ללמוד אותן בעל פה. במיוחד חשובות הנוסחאות של חזקה 2.