מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 125 סעיף 5

${\frac {1}{1*2}}+{\frac {1}{3*4}}+{\frac {1}{5*6}}+\cdots +{\frac {1}{(2n-1)2n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:{\frac {1}{(2n-1)2n}}={\frac {1}{2}}\\&R:{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}=2\\&{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1}{1*2}}+{\frac {1}{3*4}}+{\frac {1}{5*6}}+\cdots +{\frac {1}{(2k-1)2k}}={\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}+\cdots +{\frac {1}{2k}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {1}{1*2}}+{\frac {1}{3*4}}+{\frac {1}{5*6}}+\cdots +{\frac {1}{(2k-1)2k}}} _{={\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}+\cdots +{\frac {1}{2k}}}+{\frac {1}{(2k+1)2(k+1)}}={\frac {1}{k+2}}+{\frac {1}{k+3}}\cdots +{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{2k+1}}+{\frac {1}{2k+2}}\\&{\frac {1}{k+1}}+{\color {blue}{\frac {1}{k+2}}+\cdots +{\frac {1}{2k}}}+{\frac {1}{(2k+1)2(k+1)}}={\color {blue}{\frac {1}{k+2}}+{\frac {1}{k+3}}\cdots +{\frac {1}{2k}}}+{\frac {1}{2k+1}}+{\frac {1}{2k+2}}/-{\frac {1}{k+2}}+{\frac {1}{k+3}}\cdots +{\frac {1}{2k}}\\&{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{(2k+1)2(k+1)}}={\frac {1}{2k+1}}+{\frac {1}{2k+2}}/*2(2k+1)\\&2(2k+1)+1=2(k+1)+(2k+1)\\&4k+2+1=2k+2+24+1\\&0=0\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 3 שלבי האינדוקציה.