מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 30

${\frac {3*5{2n}+19*3^{n}}{66}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {3*5{2*1}+19*3^{1}}{66}}=\mathbb {Z} \\&60=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {3*5{2k}+19*3^{k}}{66}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {3*5{2k+2}+19*3^{k+1}}{66}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3*5{2k}*5^{2}+19*3^{k}*3}{66}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3*5{2k}*(22+3)+19*3^{k}*3}{66}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {3(3*5^{2k}+19*3^{k})}{66}} _{=3*\mathbb {Z} }+{\frac {3*5^{2k}*22}{66}}=\mathbb {Z} \\&5^{2k}=\mathbb {Z} &0=0\\\end{aligned}}$

K מספר טבעי ושלם ולכן, בחזקה, נקבל מספר טבעי ושלם.

הביטוי ${\frac {3*5{2n}+19*3^{n}}{66}}=\mathbb {Z}$ נכון עבור כל $\ n$