מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035007/תרגיל 5

שאלה 5 [1]

נוכל לחשב את $\ S_{2}$ באופן ישיר באמצעות אינטגרל. באופן דומה, נוכל לחשב את $\ S_{1}+S_{2}$ באמצעות אינטגרל נוסף, ומכיוון שנתון כי $\ S_{1}=S_{2}$, נקבל את $\ 2S_{2}$ באמצעות החישוב הזה.

חישוב $\ S_{2}$:

• $\ S_{2}=\int _{0}^{a}e^{-ax}dx=\left[-{\frac {e^{-ax}}{a}}\right]_{0}^{a}={\frac {1}{a}}-{\frac {e^{-a^{2}}}{a}}={\frac {1-e^{-a^{2}}}{a}}$

חישוב $\ S_{1}+S_{2}$:

• $\ S_{1}+S_{2}=\int _{0}^{a}e^{ax}dx=\left[{\frac {e^{ax}}{a}}\right]_{0}^{a}={\frac {e^{a^{2}}}{a}}-{\frac {1}{a}}={\frac {e^{a^{2}}-1}{a}}$

מכיוון ש-$\ 2\cdot S_{2}=S_{1}+S_{2}$ נקבל:

• $\ {\frac {2-2e^{-a^{2}}}{a}}={\frac {e^{a^{2}}-1}{a}}$

כלומר:

• $\ 2-2e^{-a^{2}}=e^{a^{2}}-1$

נעביר אגפים:

• $\ e^{a^{2}}-3+2e^{-a^{2}}=0$

כדי לפתור את המשוואה הזו נשתמש בשיטה דומה לזו של פתרון משוואות ממעלה שנייה:

נסמן $\ t=e^{a^{2}}$ ונקבל:

• $\ t-3+2t^{-1}=0$

נכפול ב-$\ t$ את שני האגפים ונקבל:

• $\ t^{2}-3t+2=0$

נפתור את המשוואה הריבועית הזו ונקבל:

• $\ t_{1,2}={\frac {3\pm {\sqrt {9-8}}}{2}}={\frac {3\pm 1}{2}}$

ולכן קיבלנו שני פתרונות אפשריים:

• $\ t_{1}=1,t_{2}=2$

מהפתרון הראשון נקבל:

• $\ e^{a^{2}}=1$

ניקח לוגריתם של שני האגפים ונקבל

• $\ a^{2}=\ln(1)=0$

אבל נתון לנו $\ a>0$, לכן נבדוק מה נקבל מהפתרון השני:

• $\ e^{a^{2}}=2$

ניקח לוגריתם של שני האגפים ונקבל

• $\ a^{2}=\ln(2)$

כלומר, הפתרון הוא:

• $\ a={\sqrt {\ln(2)}}$