מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/הוכחות/משפט התיכון

AD תיכון ל-BC

נתון: $BD=DC$ , צריך להוכיח $2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}=AB^{2}+AC^{2}$ .

הוכחה:

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם $\angle ABC>{\frac {\pi }{2}}$ אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, ע"פ משפט פיתגורס המורחב: $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2p\cdot BC$

נעביר אגפים, ונקבל: $2p\cdot BC=AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}$

במשולש ABD, נקבל, ע"פ משפט פיתגורס המורחב: $AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2p\cdot BD$

נציב $BD={\frac {BC}{2}}$ , ונקבל: $AD^{2}=AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{4}}-p\cdot BC$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: $2p\cdot BC=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}$

לכן, נקבל: $AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}$

לאחר העברת אגפים, נקבל: $2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}=AB^{2}+AC^{2}$