שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים
הוספת נושא- משפט: סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
- הוכחה: ללא הגבלת הכלליות נראה עבור סדרה מונוטונית יורדת חסומה an.
- בפרט an חסומה מלרע, ולכן לפי אקסיומת השלמות קיים לה אינפימום m.
- כעת נראה כי lim an = m. יהא אפסילון חיובי. אזי לכל n מתקיים:
an < m + epsilon
- הגדרנו את m כאינפימום של an, ולכן קיים N שעבורו aN > m- epsilon.
- הסדרה an מונוטונית יורדת, ולכן לכל n > N מתקיים כי an < m - epsilon.
- לכן, עבור epsilon קיים N המקיים:
m - epsilon < an < m + epsilon ==> | an - m | < epsilon
- ולכן הוכחנו כי סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת, ובפרט:
1. סדרה מונוטונית יורדת מתכנסת לאינפימום שלה. 2. סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לסופרמום שלה.
- משפט: מכפלת סדרה חסומה בסדרה המתכנסת לאפס היא סדרה השואפת לאפס.
- הוכחה: נניח כי an חסומה ו- bn מתכנסת לאפס.
- לכן, לכל epsilon קיים N כך שלכל n > N יתקיים כי:
|bn| < epsilon ==> -epsilon < bn < epsilon
- כמו כן, an חסומה, כלומר קיים M ו- m כך שלכל n יתקיים:
m < an < M
- נגדיר T = max(M, -m ואז יתקיים כי לכל n:
-T < an < T
- נתבונן בסדרת המכפלה, יהא epsilon. נגדיר כי P הוא epsilon / T.
- יהי N המתאים עבור P מהגדרת גבול bn.
- אזי, לכל n > N יתקיים:
-T * P < an * bn < T * P ==> | an * bn | < T * P
- נציב במקום P את epsilon / T ונקבל כי לכל n > N:
| an * bn | < epsilon