מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 תיאור כולל של חלקיק בעל ספין חצי
- 1.1 יחסי קומוטציה (חילוף)
- 1.2 הצגות של מצבים קוונטיים
2 מומנט מגנטי של ספין חצי
3 תהודה מגנטית (1930 Rabi)

[עריכה] תיאור כולל של חלקיק בעל ספין חצי

מרחב ההילברט שאנו נמצאים ועובדים בו: $\ E_H = E_{ext} \otimes E_{spin}$ , כלומר מכפלה טנזורית בין המרחב הספיני לבין המרחב ה"חיצוני". לרוב, $\ E_{ext} = l^2 \left( \mathbb{R}^3 \right)$ , כלומר מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע ב- $\ \mathbb{R}$ .

[עריכה] יחסי קומוטציה (חילוף)

חשוב לשים לב: אופרטוריים מרחביים ואופרטורי ספין מוגדרים במרחבי הילברט שונים, לכן מתחלפים.

מוגדרים במרחבים שונים, כלומר:

$\ \left( \hat {A_{ext}} \otimes \hat {B_{spin}} \right) \left( \left| \Psi _{\Sigma} \right\rangle \otimes \left| \Sigma \right\rangle \right) = \left( \hat {A_{ext}} \left| \Psi _{\Sigma} \right\rangle \right) \otimes \left( \hat {B_{spin}} \left| \Sigma \right\rangle \right)$ .

מתחלפים: $\ \left[ \hat {A_{ext}} , \hat {B_{spin}} \right] = o$ . חשוב לזכור, שהכתוב כאן הינו סימון בלבד, מכיוון שבלתי אפשרי לכפול, או להפעיל זה על זה, שני אופרטורים הפועלים במרחבים זרים!

צורת כתיבה מדויקת יותר תהיה: $\ \left[ \hat {A_{ext}} \otimes \hat {1_{spin}} , \hat {1_{ext}} \otimes \hat {B_{spin}} \right] =0$ . מצורת הכתיבה המפורשת ניתן לראות גם מבחינה אלגברית מדוע האופרטורים מתחלפים.

[עריכה] הצגות של מצבים קוונטיים

וכרגיל, ניתן להציג אותו בצורות שונות בבסיסים השונים:

הצגה מעורבת: $\ \Psi_+ \left( r,t \right) \left| + \right\rangle + \Psi_- \left( r,t \right) \left| - \right\rangle \in E_{spin}$ .

כאשר, כרגיל: $\ \left| \Psi _+ \left( r,t \right) \right| ^2$ = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח $\ d^3r$ סביב $\ \vec r$ בספין $\ +\frac{\hbar}{2}$ , ו- $\ \left| \Psi _- \left( r,t \right) \right| ^2$ = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח $\ d^3r$ סביב $\ \vec r$ בספין $\ -\frac{\hbar}{2}$ .

פונקצית גל בעלת 2 מרכיבים: $\ \left( \begin{matrix} \Psi _+ \left( r,t \right) \\ \Psi _- \left( r,t \right) \end{matrix} \right)$ .

מצבים אטומיים: תזכורת: מצב אטומי כללי מתואר ע"י 3 מספרים קוונטיים $\ \left| n,l,m \right\rangle$ , כאשר $\ l,m$ מתארים את התנ"ז האורביטלי ו- $\ n$ מתאר את החלק הרדיאלי.

כעת, נוסיף לשלושת המספרים הללו מספר נוסף, המתאר את הספין: נסמנו ע"י $\ \left| \sigma \right\rangle$ ולפעמים ע"י $\ \left| s \right\rangle$ . מאחר והמספרים הללו הם ע"ע (ערכים עצמיים) של אופרטורים הפועלים במרחבי הילברט שונים, המצב האטומי יתואר באופן מלא באמצעות: $\ \left| n,l,m \right\rangle \otimes \left| \sigma \right\rangle$ , או בכתיב מקוצר: $\ \left| n,l,m,\sigma\right\rangle$ .

[עריכה] מומנט מגנטי של ספין חצי

$\ \star$ תנ"ז אורביטלי $\ \vec L$ : כזכור, באופן קלאסי קיבלנו שקיים מומנט מגנטי $\ \vec \mu$ המקיים: $\ \vec \mu = \gamma _0 \vec L$ , כאשר הגדרנו: $\ \gamma _0 \equiv -\frac{q}{2m}$ . על מנת לתאר אותו בצורה קוונטית, נחשוב עליו כעל אופרטור: $\ \hat {\vec \mu} = \gamma _0 \hat\vec L$ .
$\ \star$ ספין $\ \frac{1}{2}$ : מאחר והאלגברה (ורק האלגברה!!!) של ספין $\ \frac{1}{2}$ דומה לזו של תנ"ז אורביטלי, נצפה למצוא תיאור מתמטי או פיזיקלי דומה. נקרא לתיאור הזה בשם "המומנט המגנטי של הספין".

[עריכה] מספר כתמים בניסוי שטרן-גרלך

בסיס לתנ"ז אורביטלי כללי נתון, כזכור, ע"י המ"ע (מצבים עצמיים) של $\ \left\{ \hat {J^2}, \hat {J_z} \right\}$ . למי שלא זוכר, נזכיר כי מדובר באופרטורים מתחלפים, לכן יש להם בסיס שבו ניתן לכתוב את שניהם כאופרטורים לכסינים. המספרים הקוונטיים המתאימים לאופרטורים האלה (=הע"ע, כלומר הערכים עצמיים של האופרטורים) הם:
לאופרטור $\ \hat {J^2}$ מתאים המספר הקוונטי: $\ \hbar j\left( j+1 \right)$ .
לאופרטור $\ \hat {J_z}$ מתאים המספר הקוונטי: $\ m$ , כאשר $\ -j\le m\le j$ - סה"כ $\ 2m+1$ ערכי $\ m$ אפשריים.

עבור תנ"ז אורביטלי $\ j=l$ , כלומר $\ j\in\mathbb{Z}$ . לכן, $\ \left( 2j+1\right)$ שלם אי זוגי.

$\ ?$ כמה כתמים נראה על המסך (בניסוי שטרן-גרלך) עבור חלקיקים שונים?

המקרה הכי פשוט: חלקיק אלמנטרי בעל ספין $\ \frac{1}{2}$ , למשל אלקטרון נקודתי - 2 כתמים. הפיצול, במקרה זה, ינבע אך ורק כתוצאה מנוכחות הספין.

עבור חלקיק בלי ספין (שזה משהו שקיים רק בתיאוריה) נקבל מספר אי זוגי של כתמים.

המקרה המסובך: חלקיק שמורכב מכמה חלקיקים, למשל אטום: במקרה זה התנ"ז מורכב הן מחלק אורביטלי והן מחלק ספיני, לכן יכול להתקבל כל מספר שהוא של כתמים, זוגי או אי זוגי.
- אם מתקבל מספר זוגי של כתמים $\ \Leftarrow$ ספין $\ \frac{1}{2}$ מעורב בעניין.
- אם מתקבל מספר אי זוגי של כתמים $\ \Leftarrow$ לא ניתן להסיק שום מסקנה...

[עריכה] פיצול Zeeman הבלתי רגיל

אם נשים אטום בעל המילטוניאן $\ H_0$ בשדה מגנטי הומוגני $\ \vec B = B\hat z$ , נקבל הפרעה להמילטוניאן מהצורה $\ \vec W =-\vec\mu \cdot \vec B$ .
כזכור, רמת האנרגיה באטום תלוייה רק ב- $\ n$ . במילים אחרות, לכל מצב $\ \left| n,l,m \right\rangle$ (עבור $\ n>1$ ) קיים ניוון ב- $\ m,l$ . כתוצאה מההפרעה, נקבל פיצול ברמת האנרגיה.
ההפרעה באנרגיה : $\ \hat\gamma =-\vec\mu \cdot \vec B \underbrace{=}_{\vec B =B \hat z} -\mu _z B_z =-\hbar m B$ . נזכור: קיימים $\ 2j+1$ ערכי $\ m$ אפשריים, לכן נקבל $\ 2j+1$ ערכי אנרגיה אפשריים: $E_{n,m} = E_n-\hbar \gamma mB$ . במילים אחרות, נקבל פיצול זימן ל- $\ 2j+1$ קווים.

עבור $\ j=l$ (תנ"ז אורביטלי) $\ j\in\mathbb{Z}$ , לכן נקבל מספר אי זוגי של קווים.
פיצול למספר זוגי של קוים יכול להתקבל כאשר אנו בונים רמות אנרגיה של חלקיק בודד, לא של גוף "מסובך" כמו אטום.

[עריכה] המומנט המגנטי של הספין עבור חלקיקים אלמנטריים

אנו מניחים, כרגע, שאין תנ"ז אורביטלי אלא תנ"ז ספיני בלבד.

- עבור פרוטון: $\ \gamma \cong 2.79 \frac{q}{m_p}$
- עבור פרוטון: $\ \gamma \cong 1.91 \frac{q_e}{m_p}$ (ונזכור ש- $\ m_p \approx m_n$ )
- המגנטון של בוהר: $\ \mu _b = -\frac{q \hbar}{2m_e} =-9.274 \times 10^{-24} \left[ \frac{J}{T} \right]$
- המגנטון הגרעיני (Nuclear Magneton): $\ \mu _N \equiv \frac{q \hbar}{2m_p} =5.051 \times 10^{-27} \left[ \frac{J}{T} \right]$
$\ \leftarrow$ עבור אלקטרון: $\ \gamma \cong 2\omega _0 =-\frac{q}{m_e}$ . אבל לא בדיוק...
ראשית, ברור שכל הנתונים הרשומים לעיל ידועים מתוצאות נסיוניות. אלא, שעבור אלקטרון ניתן גם להוכיח את ערכו של המקדם $\ \gamma$ .
נכתוב את המומנט המגנטי של האלקטרון: $\ \hat \vec \mu = g_e \left( \frac{q}{2m_e} \right) \hat \vec S$ , כאשר: $\ = \frac{q}{2m_e} = \gamma _0$ המקדם הגירו-מגנטי (כפי שקראינו בעבר), $\ =\hat \vec S$ ו- $\ g_e \equiv 2 \left( 1+a \right)$ . <\br>

כשרק התחילו לפתח את התורה, הסיק פאולי, כתוצאה ממדידות שונות, ש- $\ g_e =2$ (כלומר $\ a=0$ ). כמה שנים מאוחר יותר נתן דיראכ תיאור קוונטי למשוואת שרדינגר (שמוצג, באופן לא מפתיע, באמצעות משוואת דיראכ), באמצעותו ניתן להוכיח שאכן $\ g_e =2$ . הסברה הרווחת היתה, שערכו של $\ g_e$ נובע מהספין.

עם הזמן, משהפכו המדידות יותר ויותר מדויקות, התברר כי $\ g_e$ אינו שווה ל-2 אלא קצת יותר.
התוצאות:
$\ \begin{matrix} a_{theory} = 0.001159652200 \pm 40 \times 10^{-10} \\ a_{exp} = 0.001159652193 \pm 10 \times 10^{-10} \end{matrix}$

משהו מעניין: $\ a$ נובע מקיום פוטונים וירטואליים, או יותר נכון - מהאינטרקציה שיש בינם לבין הספין. ואיכשהו זה קשור לכך שקוונטיזציה של שדה א"מ גורמת לפליטת פוטונים. למעשה גילוי אותו מקדם $\ a$ היה ההוכחה לקיומם של הפוטונים הוירטואלים.

[עריכה] תהודה מגנטית (1930 Rabi)

באופן כללי: עבור חלקיק בעל ספין $\ \frac{1}{2}$ , הבדיקה הרפואית הידועה בשם MRI - ראשי תיבות של magnetic resonance imaging - מודדת לא פחות ולא יותר מאשר את המקדם $\ \gamma$ של המוח.
נתון ספין $\ \frac{1}{2}$ בשדה מגנטי $\ \vec {B_0} =B_0 \hat z$ . המילטוניאן המע': $\ \hat H = - \hat \vec {\mu _0} \cdot \vec {B_0} = -\mu _0 B_0 \hat {\sigma _z}$ , כאשר מגדירים: $\ \mu _0 \equiv \gamma \frac{\hbar}{2}$ . ונגדיר גם: $\ \left( \gamma _0 =-\gamma B_0 \Leftrightarrow \right) \frac{\gamma 0}{2} \equiv - \frac {\mu _0 B_0}{\hbar}$

עבור מומנט בכיוון $\ \hat z$ לא תהיה כל התפתחות בזמן (כי זהו גם כיוון השדה המגנטי). באופן כללי, נקבל פרסציה: $\ \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle = \alpha e^{-i \frac{\omega _0 t}{2}} \left| + \right\rangle + \beta e^{i \frac{\omega _0 t}{2}} \left| - \right\rangle$ . במילים אחרות, $\ \omega _0$ היא תדירות הפרסציה של הגוף.

(...המשך בשיעור הבא...)

הפרק הקודם:
הרצאה מספר 1

עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 2 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 3

פיזיקה קוונטית 2 מחברת קורס/הרצאה מספר 2

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] תיאור כולל של חלקיק בעל ספין חצי

[עריכה] יחסי קומוטציה (חילוף)

[עריכה] הצגות של מצבים קוונטיים

[עריכה] מומנט מגנטי של ספין חצי

[עריכה] מספר כתמים בניסוי שטרן-גרלך

[עריכה] פיצול Zeeman הבלתי רגיל

[עריכה] המומנט המגנטי של הספין עבור חלקיקים אלמנטריים

[עריכה] תהודה מגנטית (1930 Rabi)

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא