פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 2

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

המשך ההקדמה: פיזיקה קלאסית וקבוע פלנק

תוכן עניינים

1 סדרי גודל של מכניקה קוונטית
2 פיזור קומפטון (1922)
3 התאבכות של גלים אלקטרו מגנטיים - ניסוי יאנג (Young)
4 פיזור בראג (Bragg) של קרינת X

[עריכה] סדרי גודל של מכניקה קוונטית

ראינו עד כה שנערכו ניסויים שסתרו את תוצאות הפיזיקה הקלאסית. מאידך, הפיזיקה הקלאסית תיארה באופן מוצלח מאוד את כל התופעות בהן נתקל המדע עד אז. ומתעוררת השאלה: מתי יהא עלינו להשתמש בפיזיקה קוונטית?
תזכורת: מימדי $\ \hbar$ : תנ"ז X זווית = תנע X אורך = אנרגיה X זמן = $\ [ \hbar ]$ , וכן מתקיים: $\ E=\hbar \omega$ $\ \vec p = \hbar \vec k = \frac {(lengh)^2 \cdot mass}{time}$
כל גודל שיחידותיו הן $\ \frac {(lengh)^2 \cdot mass}{time}$ מהווה פעולה. לכן, נוכל להשתמש במכניקה הקוונטית כאשר נתעסק במערכות בהן סדק הפעולה פרופורציונלי ל- $\ \hbar$ , כלומר בערך $\ 10^{-34}$ .
נתבונן כעת במספר מקרים. בכל אחד מהם, נרצה לדעת האם עלינו להשתמש במכניקה הקלאסית או הקוונטית:

[עריכה] דוגמה 1: האפקט הפוטו-אלקטרי (המקרה בו דנו בשיעור שעבר):

אנרגית האלקטרונים: $\ e=E \cdot V_0 \simeq 1eV = 1.6 \cdot 10^{-19} J$
סדר גודל של גל אלקטרו מגנטי: $\ \omega = c \cdot \frac{2 \pi}{\lambda}$ , כאשר $\ \lambda \simeq 1000 \dot{A}$ $\ \Leftarrow$ $\ \omega \simeq 6 \pi \cdot 10^{15} \frac{1}{s}$
מנתונים אלה ניתן למצוא סדר גודל של פעולה אופיינית

<:

$\ \Leftarrow$ ניתן להשתמש בפיזיקה קוונטית. למעשה, בסדרי גודל כאלה, חובה עלינו להשתמש בפיזיקה קוונטית

אם נרצה להסביר את התופעות כראוי.

[עריכה] דוגמא מספר 2: אנטנה:

הספק: $\ P\simeq 1KW [JS^{-1}]$ , תדירות: $\ \nu =1 MHz \left[ =\frac{1}{s} \right]$ .

יחידות: $\ P=\frac{E}{t}$ . מתקיים גן: אנרגיה = $\ \frac{P}{\nu}$ , זמן = $\ \frac{1}{\nu}$ , ופעולה אופיינית תהיה לכן: $\ \frac{P}{\nu} \cdot \frac{1}{\nu} =P \cdot \nu ^{-2} \simeq 10^{31} \hbar \gg \hbar$
לכן, במקרה זה לא ניתן להשתמש בפיזיקה קוונטית.

[עריכה] דוגמה מס' 3: מעגל LC:

נתון מעגל RC עם הנתונים הבאים: קיבול: $\ c\simeq 10^{-10} KW$ , השראות עצמית של הסליל: $\ L \simeq 10^{-4} H$ . סדר גודל של זרם אופייני: $\ I=10^{-3} A$ .
$\ ?$ מהי הפעולה של המעגל?

אנרגית המעגל: $\ E= \frac{1}{2} LI^2$
זמן: תדירות עצמית של המעגל: $\ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\ \Leftarrow$ סדר הגודל של הפעולה: $\ \frac{1}{2} LI^2 \sqrt{LC} \simeq 10^{17} \hbar \gg \hbar$
$\ \Leftarrow$ גם במקרה זה לא נוכל להיעזר במכניקת הקוונטים.

[עריכה] דוגמא מספר 4: אטום מימן

סדר גודל של אנרגית האלקטרון: $\ E_0 = 13.6 ev = 2 \cdot 10{-18} J$
אורך גל אופייני של קרינה אלקטרו מגנטית: $\ \Leftarrow \lambda \simeq 10^3 \dot A$ תדירות אופיינית: $\ \omega =\frac{2 \pi c}{\lambda} \simeq 2 \cdot 10^{16} \frac{1}{sec}$ .

$\Leftarrow$ סדר גודל של פעולה אופיינית: $\ \frac{E}{\omega} \simeq 10^{-34} J \cdot sec \simeq \hbar$
$\Leftarrow$ יש צורך להשתמש ב- QP (=פיזיקה קוונטית).

[עריכה] דוגמא מספר 5: גרעין של אטום:

אנרגיה אופיינית של ריאקציה גרעינית: $\ E=8Mev \simeq 1.3 \cdot 10^{-12} J$
גודל אופייני של הגרעין: $\ r_0 \simeq 1.2 \cdot 10^{-15} m$
מסת הנוקלואידים (=החלקיקים שבתוך גרעין האטום): $\ M=1.6 \cdot 10^{-27} Kg$

והפעולה: באופן כללי, נשים לב שמתקיים:
$\ length \cdot \sqrt{M \cdot E} = lentgh \cdot \sqrt{m \cdot \frac{1}{2} mv^2} = \sqrt{m^2v^2}= momentum$ כאשר: length = אורך ו- momentum = תנע. כלומר, הפעולה היא תנע (מתאים מבחינת היחידות!), ונקבל את סדר הגודל שלה: $\ r_0 \cdot \sqrt{ME} \simeq 5 \cdot 10^{-35}\ J\cdot sec \simeq \frac{1}{2} \hbar$
$\ \Leftarrow$ מצריך שימוש ב- QP.

מכיוון שהגדרת הפעולה היא יחידה, תמיד נוכל להיעזר בכלל זה.

- עד כאן ההקדמה. ונעבור לאחת מהעדויות הראשונות לפיזיקה קוונטית:

[עריכה] פיזור קומפטון (1922)

ניסוי זה מהווה, למעשה, את ההוכחה הראשונה לקיומו של הפוטון. מקרינים קרינה בתדירות $\ \nu$ על מתכת. בתגובה, המתכת פולטת קרינה בתדירות $\ \nu '$ ובזווית $\ \theta$ , למרות שלכאורה עליה לפלוט קרינה בתדירות $\ \nu$ וללא זוית מופע. .
נבחן, באופן קלאסי, מקרה חד מימדי של התנגשות:

לפני ההתנגשות:

האלקטרון (במנוחה): $\ P_e =0, \ E_e = mc^2$
הפוטון: $\ P_{\gamma} = \frac{h \nu}{c}, \ E_{\gamma} = h\nu =\frac{h}{\lambda}$

אחרי ההתנגשות:

האלקטרון: $\ E_e = \left( P_e^2 c^2 + m_e^2 c^4 \right) ^{\frac{1}{2}}$
הפוטון: $\ P_\gamma = \frac{h \nu '}{c} =\frac{h}{\lambda '}, \ e_\gamma =h \nu '$ כאשר האלקטרון מתפזר בזווית $\ \theta _e$ ביחס לכיוון החיובי של ציר האיקס ובכיוון הטריגונומטרי (נגד כיוון השעון), והפוטון בזווית $\ \theta _\gamma$ כאשר מודדים נגד הכיוון הטריגונומטרי.
כמו בכל מקרה קלאסי, נפתור את הבעיה בעזרת שני חוקי שימור:
א) שימור אנרגיה: $\ h\nu +mc^2 = h\nu ' + \sqrt{m^2c^4 +p^2c^2}$ (1)
ב) שימור תנע: בציר x (האופקי): $\frac{h \nu}{c}=\frac{h\nu '}{c} \cos \theta_\gamma + P_e \cos \theta _e$ (2)
שימור תנע בציר y (האנכי): $\ 0=-\frac{h\nu '}{c} \sin \theta_\gamma + P_e\sin\theta _e$ (3)
$\ \Rightarrow \ \ \left( h\nu - h\nu ' + mc^2 \right) ^2 = m^2c^4+P_e^2c^2$ (1)
$\ \Rightarrow \ \left( h\nu -h\nu ' \right) ^2 + m^2c^4 + 2mc^2h \left( \nu - \nu ' \right) = m^2c^4 + P_e^2c^2$
נשים לב שניתן לצמצם את הביטוי $\ m^2c^4$ משני האגפים, ונקבל:
$\ \ \left( h\nu -h\nu ' \right) ^2 + 2mc^2h \left( \nu - \nu ' \right) =P_e^2c^2$ (4)
$\ \Rightarrow P_e^2 \cos ^2 \theta _e = \left( \frac{h}{c} \right) ^2 \left( \nu -\nu ' \cos \theta _\gamma \right) ^2$ (2)
$\ \Rightarrow P_e^2 \sin ^2 \theta _e = \left( \frac{h}{c} \right) ^2 \left( \nu ' \right) ^2 \sin ^2 \theta _\gamma$ (3)
$\ \ \ \Rightarrow P_e^2 c^2 = \left( h \nu -h\nu ' \cos \theta _\gamma \right) ^2 + \left( h \nu ' \sin \theta _\gamma \right) ^2$
(5) $\ \ \ \Rightarrow P_e^2 c^2 = \left( h \nu \right) ^2 + \left( h \nu ' \right) ^2 -2 h^2 \nu \nu ' \cos \theta _\gamma \ \$
$\ \Rightarrow \left( h\nu -h\nu ' \right) ^2 +2mc^2h \left( \nu -\nu ' \right) = \left( h\nu \right) ^2+ \left( h\nu ' \right) ^2 -2h^2\nu\nu ' \cos \theta _\gamma$ (5) + (4)
$\ \Rightarrow 2mc^2h \left( \nu - \nu ' \right) = 2h^2\nu\nu ' -2h^2\nu \nu ' \cos \theta _\gamma$

נכפול את שני האגפים בביטוי $\ \frac{1}{2hmc^2\nu\nu '}$ , ונקבל: $\ \frac{\nu - \nu '}{\nu \nu '} = \frac{h}{mc^2}\left( 1- cos \theta _\gamma \right)$
נשים לב שמתקיים: $\ \frac{\nu - \nu '}{\nu \nu '} = \frac{1}{\nu '} - \frac{1}{\nu} = \left( \frac{c}{\nu '} - \frac{c}{\nu} \right) \cdot \frac{1}{c} = \left( \lambda ' -\lambda \right) \frac{1}{c}$
וקיבלנו את נוסחת הפיזור של קומפטון:

$\ \lambda ' - \lambda = \frac{h}{mc} \left( 1- \cos \theta _\gamma \right)$

שימו לב לתוצאה מעניינת מאוד: הפרש אורכי הגל תלוי אך ורק בזווית הפיזור, ולא בשום דבר אחר!

[עריכה] התאבכות של גלים אלקטרו מגנטיים - ניסוי יאנג (Young)

מקור אור נקודתי נמצא מאחורי 2 סדקים, $\ N_1$ ו- $\ N_2$ , שהמרחק ביניהם $\ D$ . במרחק $\ L$ ( $\ L \gg D$ ) נמצא מסך, עליו מתקבלת תמונת התאבכות.

גל א"מ ניתן לתיאור ע"י: $\ \psi \left( \vec r ,t \right) = \psi _0 e ^{i \left( \vec k \cdot \vec r - \omega t \right) }$ . תהא $\ D'$ הנק' על המסך הנמצאת בדיוק מול נקודת האמצע שבין שני הסדקים. נתבונן בנק' $\ C$ על המסך, המרוחקת מרחק $\ x$ מהנק' $\ D'$ . אזי, משרעת הגל בנק' $\ C$ תהיה: $\ \psi \left( C \right) = \psi _1 + \psi _2 = \psi _0 e^{-i \omega t} \left( e^{i \vec k \cdot \vec r_1} + e^{i \vec k \cdot \vec r_2} \right)$ , כאשר מסמנים: $\ \vec r_1 = \vec {N_1 c}, \ \vec r_2 = \vec {N_2 c}$ .
עוצמת הגל בנקודה $\ C$ :

$\ I \left( C \right) = \left| \psi \left( C \right) \right| ^2 = \left| \psi _0 \right| ^2 \underbrace{\left| e ^{-i \omega t} \right| ^2 }_{=1^2=1} \left| e^{i \vec k \cdot \vec r_1} + e^{i \vec k \cdot \vec r_2} \right| ^2=$

$\ = \left| \psi _0 \right| ^2 2 \left| 1+e^{i \vec k \cdot \left( \vec r_2 - \vec r_1 \right) } \right| = 2 \left| \psi _0 \right| ^2 \left[ 1+cos \left( \vec k \cdot \left( \vec r_2 - \vec r_1 \right) \right) \right]$
נגדיר הפרש פאזה באופן הבא: $\ \delta\ ^\triangle _= \ \vec k \cdot \left( \vec r_2 - \vec r_1 \right) = \frac{2 \pi}{\lambda} \left( \left| \bar {N_2c} \right| \cos \theta _2 - \left| \bar {N_1c} \right| \cos \theta _1 \right)$
מתקיים: $\ \cos \theta _1 \simeq \cos \theta _2 \simeq 1 \ \Leftarrow \ \theta _1, \theta _2 \ll 1 \ \Leftarrow x \ll L,\ D \ll L$

ונקבל שהפרש הפאזה הינו: $\ \delta = \frac{2 \pi}{\lambda} \left( \left| \bar {N_2C} \right| - \left| \bar {N_1C} \right| \right)$

טענה: מתקיים: $\ \delta \simeq \frac{2 \pi }{\lambda} \frac{Dx}{L}$ , כלומר: $\ I \left( C \right) = 2 \left| \psi _0 \right| ^2 \left( 1+ \cos \frac{2 \pi }{\lambda} \frac{Dx}{L} \right)$ .
הוכחה (הסבר) : נבחן את עוצמת האור כפונקציה של $\ \theta = \frac {x}{L}$ .

מתקיים: $\ \tan \theta _1 = \frac{x+\frac{D}{2}}{L}, \ \tan \theta _2 = \frac{x-\frac{D}{2}}{L}$ . בנוסף, $\ D,\frac{D}{2} \ll L$ , לכן נוכל להניח ש: $\ \tan \theta _1 \simeq \tan \theta _2 \simeq \tan \theta = \frac{x}{L}$ . בנוסף, נשים לב לקשר הבא: $\ n\in\mathbb{Z}, \ \frac{2\pi}{\lambda} \frac{Dx_i}{L}=2\pi n$ , מכאן נקבל את התוצאה: $\ x_i = \frac {\lambda L}{D} n$ .

[עריכה] פיזור בראג (Bragg) של קרינת X

גל מישורי פוגע בגביש:
כתוצאה משני מקורות (במקרה שלנו, המשטחים $\ l_1, \ l_2$ ) נקבל התאבכות.
נרצה לחשב את הפרש הפאזה: $\ \delta = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \bar {H_0M'} + \bar { M'H} \right)$

$\ \left\{ \begin{matrix} \beta +\theta = \frac{\pi}{2} \\ \alpha + \beta + \phi + \frac{\pi}{2} \end{matrix} \right. \Rightarrow \alpha - \theta + \phi = 0 \ \ \Rightarrow \alpha = \theta - \phi$

$\ \left\{ \begin{matrix} \frac{b}{a}=\sin\alpha = \sin \left( \theta - \phi \right) \\ \frac{d}{a} = \cos\phi \end{matrix} \right. \ \Rightarrow b= \bar {H_0M} = \frac{d}{\cos \phi} \sin \left( \theta - \phi \right)$

...המשך בשיעור הבא...

ההרצאה הקודמת:
הרצאה מספר 1

עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 3

פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 2

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] סדרי גודל של מכניקה קוונטית

[עריכה] דוגמה 1: האפקט הפוטו-אלקטרי (המקרה בו דנו בשיעור שעבר):

[עריכה] דוגמא מספר 2: אנטנה:

[עריכה] דוגמה מס' 3: מעגל LC:

[עריכה] דוגמא מספר 4: אטום מימן

[עריכה] דוגמא מספר 5: גרעין של אטום:

[עריכה] פיזור קומפטון (1922)

[עריכה] התאבכות של גלים אלקטרו מגנטיים - ניסוי יאנג (Young)

[עריכה] פיזור בראג (Bragg) של קרינת X

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא