פיזיקה קוונטית/חלקיק טעון בשדה מגנטי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

ההמילטוניאן עבור חלקיק טעון, חסר ספין, בדינמיקה לא יחסותית, ובפוטנציאל סקלרי ו-וקטורי הינו:
$\ H=\frac{(P - \frac{q}{c} A)^{2}}{2m} + q\phi$

נגדיר את אופרטור המהירות ביחידות של $\hbar$ :

$V_\alpha\equiv\frac{i}{\hbar}[H,Q_\alpha]=\frac{i}{m\hbar}[(P-\frac{q}{c}A)^2,Q_\alpha]=\frac{1}{2m}(P_\alpha-\frac{q}{c}A_\alpha)$
יחסי החילוף של איברי $\ \vec{V}$ המתקבלים מן ההגדרה הזו הינם: $[V_\alpha,V_\beta]=i\frac{\hbar q}{m^2 c}\epsilon_{\alpha,\beta,\gamma}B_\gamma$

מציאת רמות האנרגיה (רמות לנדאו) עבור חלקיק טעון חסר ספין בשדה מגנטי הומוגני

$\vec{B}=B \hat{z}$ :
נציג את H באמצעות $H= \frac{m}{2}(V_x^2 + V_y^2 + V_z^2)$
נגדיר $H_{xy}\equiv \frac{m}{2}(V_x^2 + V_y^2)$ $H_{z}\equiv \frac{m}{2}V_z^2$ , $\ H=H_{xy}+H_z$
מכיוון ש- $\ B_x=B_y=0$ נקבל כי $\ [V_z,V_x]=[V_z,V_y]=0$
מכאן נובע ש- $\ H_{xy}$ ו- $\ H_z$ חילופיים זה עם זה.
כיוון שכך, הערכים העצמיים של H הינם סכום האלגברי של הערכים העצמיים של האופרטורים $\ H_{xy}$ ו- $\ H_z$ המרכיבים אותו.
כעת נמצא את הערכים העצמיים של $\ H_{xy}$ ו- $\ H_z$ .
לשם כך נציג את הסימון

$\ \gamma\equiv\left(\frac{\hbar |q|B}{m^2c}\right)^{1/2}$ ,

$\ V_x=\gamma Q'$

$\ V_y=\gamma P'$
נקבל כי $\ H_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\hbar |q|B}{mc}\right)(P'^2+Q'^2)$ , $\ [P',Q']=i$ משוואות אלה זהות למשוואות אוסצילטור הרמוני קוונטי, ועל כן הערכים העצמיים של $\ H_{xy}$ יהיו $\ \left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\hbar |q|B}{m^2c}$ כאשר n הינו מספר שלם אי-שלילי.
ספקטרום הערכים העצמיים של $\ H_z$ הינו רציף, $\ \frac{mv^2}{2}$
נקבל כי האנרגיות האפשריות במערכת הינן: $\ E_{n,V_z}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\hbar |q|B}{m^2c}+\frac{mv^2}{2}$
ערכי אנרגיה אלה נקראים רמות לנדאו (על שמו של לב לנדאו, שהיה הראשון לנסח את הפונקציות העצמיות המתאימות לערכי אנרגיה אלה). ניתן לראות כי עבור $\ V_z$ נתון, הספקטרום הינו בדיד כשל אוסצילטור הרמוני.

ניוון של רמות לנדאו

מתוך פיתוח שאינו מופיע כאן כרגע, נקבל כי הניוון של רמת לנדאו בעלת n ו- $\ V_z$ קבועים הינו $\ \frac{D_x D_y}{2\pi a_m^2}$ , כאשר $\ D_x,D_y$ הינם אורכי צלעות מלבן שבו מוכלת המערכת (כלומר אם החלקיק אינו מוגבל במישור xy, הניוון הינו אינסופי? בנוסף, מדוע ההגדרה היא מחזורית באחד הצירים - x?), ו- $\ a_m=\left(\frac{\hbar c}{|q|B}\right)^{1/2}$
ערך זה מצביע כי הניוון ברמות לנדאו שווה למספר יחידות השטף המגנטי החולפות דרך המערכת.

בביליוגרפיה: Ballentine, L. - Quantum Mechanics - a Modern Development (1998), Ch. 11

פיזיקה קוונטית/חלקיק טעון בשדה מגנטי

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא