פיזיקה קוונטית/חלקיק טעון בשדה מגנטי

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

ההמילטוניאן עבור חלקיק טעון, חסר ספין, בדינמיקה לא יחסותית, ובפוטנציאל סקלרי ו-וקטורי הינו:

נגדיר את אופרטור המהירות ביחידות של  :


יחסי החילוף של איברי המתקבלים מן ההגדרה הזו הינם:

  • מציאת רמות האנרגיה (רמות לנדאו) עבור חלקיק טעון חסר ספין בשדה מגנטי הומוגני

 :
נציג את H באמצעות
נגדיר ,
מכיוון ש- נקבל כי
מכאן נובע ש- ו- חילופיים זה עם זה.
כיוון שכך, הערכים העצמיים של H הינם סכום האלגברי של הערכים העצמיים של האופרטורים ו- המרכיבים אותו.
כעת נמצא את הערכים העצמיים של ו-.
לשם כך נציג את הסימון

,


נקבל כי , משוואות אלה זהות למשוואות אוסצילטור הרמוני קוונטי, ועל כן הערכים העצמיים של יהיו כאשר n הינו מספר שלם אי-שלילי.
ספקטרום הערכים העצמיים של הינו רציף,
נקבל כי האנרגיות האפשריות במערכת הינן:
ערכי אנרגיה אלה נקראים רמות לנדאו (על שמו של לב לנדאו, שהיה הראשון לנסח את הפונקציות העצמיות המתאימות לערכי אנרגיה אלה). ניתן לראות כי עבור נתון, הספקטרום הינו בדיד כשל אוסצילטור הרמוני.

  • ניוון של רמות לנדאו

מתוך פיתוח שאינו מופיע כאן כרגע, נקבל כי הניוון של רמת לנדאו בעלת n ו- קבועים הינו , כאשר הינם אורכי צלעות מלבן שבו מוכלת המערכת (כלומר אם החלקיק אינו מוגבל במישור xy, הניוון הינו אינסופי? בנוסף, מדוע ההגדרה היא מחזורית באחד הצירים - x?), ו-
ערך זה מצביע כי הניוון ברמות לנדאו שווה למספר יחידות השטף המגנטי החולפות דרך המערכת.

בביליוגרפיה: Ballentine, L. - Quantum Mechanics - a Modern Development (1998), Ch. 11