מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

עד כה למדנו על ההגדרות הבסיסיות של הוקטורים ועל הפעולות השונות שניתן לעשות בהם. כעת אנחנו נראה כיצד ניתן להשתמש בכל מה שלמדנו עד כה לחישובים שונים במישור ובמרחב ולהוכחות גיאומטריות שונות.

תוכן עניינים 1 מציאת אמצע של קטע 2 חלוקה של קטע ביחס נתון 3 קטעים מקבילים 3.1 דוגמאות

[עריכה] מציאת אמצע של קטע

בבעיות גיאומטריות שונות מוצאים לעיתים קרובות צורך למצוא אמצע של קטע נתון. דרכים שונות למציאת אמצע של קטע עבור נקודות במישור ובמרחב אולי ידועות לקורא כבר מלימודי ההנדסה האנליטית, אך כעת אנחנו נוכיח את הנוסחה לאמצע של קטע במרחב ונראה את השימושים של זה בתרגילים עם וקטורים.

נתחיל בפיתוח הנוסחה. יהיו A וB נקודות במרחב. אנחנו מעוניינים למצוא את נקודת האמצע של הקטע AB, נסמן אותה באות E.

כיוון שE נקודת האמצע, מתקיים AE=EB וכיוון AE וEB נמצאים על אותו ישר יש להם גם את אותו הכיוון, ולכן:

ומהתכונות של חיבור וקטורים גיאומטריים ידוע לנו ש:

כעת, אם O היא ראשית הצירים, ידוע לנו מהתכונות של חיבור וקטורים גאומטריים שמתקיים:

אחרי העברת אגפים וצמצום מתקבלת הנוסחה:

כלומר, הקוארדינטות של E (בין אם זה במישור או במרחב) הן, בהתאמה, הממוצעים של הקוארדינטות של A וB.

[עריכה] חלוקה של קטע ביחס נתון

כמו חלוקת קטע מסויים לשתיים, גם חלוקה של קטע ביחס כלשהו היא מאוד שימושית.

נפתח את הנוסחה למציאת נקודה E על הקטע AB כך ש שזה, כמובן שקול ל AE = αEB. וכיוון שA,B וE נמצאות כולן על אותו ישר נוכל לרשום גם:

וכאשר O היא ראשית הצירים, אנחנו יכולים לרשום:

אחרי העברת אגפים וצמצום מגיעים לנוסחה:

וכאשר עוברים להצגה אלגברית של הוקטורים הקוארדינטות של E מתגלות מיד.

[עריכה] קטעים מקבילים

לעיתים קרובות מגיעים לסיטואציה בתרגיל חישובי או בהוכחה גיאומטרית, שבה יש צורך להוכיח ששני קטעים מקבילים זה לזה. בעזרת וקטורים והצגתם האלגברית ניתן לעשות זאת בקלות ובפשטות.

ידוע לנו מהפרק על כפל בסקלר שכאשר כופלים וקטור במספר ממשי, הכיוון שלו לא משתנה אלא רק גודלו. כלומר, וקטורים שנבדלים זה מזה רק בכפל במספר ממשי כלשהו (שונה מאפס), הם מקבילים זה לזה.

שימו לב שגם הטענה ההפוכה נכונה, וקטורים מקבילים (שיש להם את אותו ה"כיוון") נבדלים זה מזה בקבוע.

הערה חשובה! כפל במספר שלילי אמנם "הופך" את כיוון החץ של הוקטור ב180 מעלות, אך הוא עדיין מקביל לוקטור המקורי!

באופן כללי, אם ברצוננו להוכיח שהוקטור מקביל לוקטור עלינו להראות שקיים מספר ממשי כלשהו, t כך שמתקיים:

כאשר הוקטורים נתונים בצורה אלגברית מאוד קל לבצע את הבדיקה הזו בעזרת הכלל להשוואת וקטורים והגדרת הכפל בסקלר. נביא דוגמאות:

[עריכה] דוגמאות

• יהיו הוקטורים:

הוכח\י שהוקטורים הנ"ל מקבילים זה לזה.

פשוט מאוד, ננסה למצוא t שעבורו מתקיים:

כלומר, למצוא t כך ש:

מפיתרון של שלושת המשוואות האלו אנו מקבלים ש t=-0.25 כלומר, הווקטורים מקבילים.

שימו לב: אם לא היינו מצליחים למצוא t עבורו כל שלושת המשוואות מתקיימות (כלומר, לא היה פתרון), היינו יודעים שהוקטורים לא מקבילים.