מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

כולנו מכירים את המספרים הטבעיים, 1, 2, 3... וכו'. אנחנו יודעים לדוגמה שניתן להביע את המספר 5 כ 2+3 וגם כ 4+1 וגם כ 5+0. בוקטורים קורה משהו דומה (אמנם, מעט שונה). אם פתרתם בעבר תרגילים מהנושאים הקודמים, כבר בטח שמתם לב שניתן להביע חלק מהוקטורים בעזרת וקטורים אחרים, כלומר, ראיתם שייתכן שיש וקטור אחד שהוא סכום או "קומבינציה" כלשהי של סכומים של מספר וקטורים אחרים.

בפרק זה, אנחנו נלמד (בצורה מצומצמת, במסגרת החומר לבגרות) את מהות הקשר בין הוקטורים ואת המשמעות של "קומבינציה לניארית" וכן גם על תלות של וקטור אחד בוקטורים אחרים.

[עריכה] קומבינציות ליניאריות

נדגים את הרעיון באמצעות שני וקטורים $\underline u$ ו $\underline v$ . קומבינציה ליניארית של שני הוקטורים לעיל, הוא כל וקטור מהצורה:

$t\underline u +s\underline v$ עבור t ו s מספרים ממשיים כלשהם.

נכליל את הרעיון, קומבינציה ליניארית של כל קבוצה מסויימת של וקטורים ${\underline v}_1 ,{\underline v}_2,...{\underline v}_n$ הוא וקטור מהצורה:

$a_1{\underline v}_1+a_2{\underline v}_2+a_3{\underline v}_3+...+a_n{\underline v}_n$

ככה ש $a 1, a 2,..., a n$ מספרים ממשיים כלשהם.

בספר זה נתעסק רק בקומבינציות ליניאריות של מספר סופי של וקטורים וסביר שלא יופיעו קומבינציות ליניאריות של יותר מארבעה וקטורים.

[עריכה] תלות ליניארית

אחרי שראינו שניתן לבנות וקטורים בעזרת קומבינציות ליניאריות, נשאלת השאלה, אם יש לי קבוצה מסויימת של וקטורים, האם אני יכול\ה להביע אחד מהם כקומבינציה ליניארית של כל השאר? התשובה היא, תלוי. ראשית נגדיר תלות ליניארית וניראה שבעצם, התשובה היא "כן" כאשר הוקטורים הם תלויים ליניארית ו"לא" כאשר הם לא.

הגדרה 1: תלות ליניארית

קבוצה מסויימת של וקטורים ${\underline v}_1 ,{\underline v}_2,...{\underline v}_n$ תיקרא "תלויה ליניארית", אם קיימים מספרים ממשיים $a 1, a 2,..., a n$ (שלא כולם 0) ככה ש:

$a_1{\underline v}_1+a_2{\underline v}_2+a_3{\underline v}_3+...+a_n{\underline v}_n =\underline 0$

אם לא, היא תיקרא "בלתי תלויה ליניארית" ונאמר ש"אין תלות בין הוקטורים".

כדאי לדעת:

כל וקטור תלוי בוקטור ה0. תוכלו למצוא הוכחה לכך?

כאמור, אם הוקטורים תלויים ליניארית, ניתן למצוא קומבינציה שלהם ששוה לוקטור ה0. אחרי העברת אגפים של אחד הוקטורים וצמצום במספר הממשי המתאים, נגלה שקיבלנו ביטוי של הוקטור כקומבינציה ליניארית של כל השאר.

קומביצניות ליניאריות של וקטורים ישחקו תפקיד רחב כשנדבר על מישורים וישרים במישור ובמרחב.

[עריכה] בסיס

המושג המקיף של בסיס לוקטורים (בתחום במתמטיקה בשם אלגברה ליניארית בו חוקרים את הוקטורים ואת התכונות שלהם, נהוג לומר "בסיס של מרחב וקטורי") חורג מהתחום של המתמטיקה התיכונית. אנחנו נדון באופן מאוד בסיסי ולא מורחב כלל במושג "בסיס" ובעיקר נסביר אותו בצורה אינטואטיבית.

[עריכה] הקדמה

ראינו שיש וקטורים שתלויים בוקטורים אחרים ולכן ניתן להביע אותם כקומבינציה ליניארית שלהם. אך, האם יש קבוצה קטנה של וקטורים שבעזרתם ניתן להביע את כל הוקטורים? ואם כן, כמה וקטורים יש בקבוצה הזו?

המושג של בסיס פותר את הבעיה הזו. בסיס, הוא הקבוצה הקטנה ביותר של וקטורים ככה שכל וקטור יכול להרשם כקומבינציה ליניארית שלהם. בנוסף, מספר הוקטורים שנמצאים בבסיס הוא קבוע ונקרא ה"מימד".

כפי שניתן לראות (אולי לא בקלות, אבל ניתן) יכולים להיות מספר בסיסים לאותו המרחב (ב"מרחב" הכוונה יכולה להיות גם למישור ולישר, הנושא יתבהר בהמשך).

[עריכה] בסיס למישור

כאשר אנחנו מדברים על מישור הxy ה"רגיל" שלנו (על מישורים במרחב והמימד שלהם נדבר בהרחבה בפרק על הצגה פרמטרית של מישור במרחב) אנחנו יודעים מבחינת אינטואטיבית שהכביכול "מימד" שלו הוא 2. כפי שניתן לגלות, ההגדרה של מימד כפי שאנחנו מכירים אותה בצורה אינטואטיבית מתלכדת עם ההגדרה שלמדנו למעלה. כלומר, בכל בסיס של מישור הxy יש 2 וקטורים שבעזרתם ניתן להביע את כל שאר הוקטורים. נראה דוגמאות.

[עריכה] דוגמאות

הוקטורים (0,1) ו(1,0) הם בסיס למישור (בסיס זה נקרא הבסיס הסטנדרטי של המישור).
הוקטורים (3,4) ו(2,1) הם גם בסיס למישור.
הוקטורים (1-,1) ו(3-,1) הם גם דוגמה לבסיס של המישור.

אתגר:

נסו להראות שניתן להביע כל וקטור במישור כקומבינציה ליניארית של הבסיסים למעלה (עבור כל בסיס בנפרד, כמובן). טיפ: תתחילו עם וקטור כלשהו (x,y) ותראו כיצד הוא קומבינציה ליניארית של שני הוקטורים.

[עריכה] בסיס למרחב

גם לגבי ה"מימד" של המרחב יש לנו ידע אינטואטיבי, הרי ברור שהמרחב הוא תלת-ממדי (כלומר, המימד שלו הוא 3). ולכן, באמת, מספר הוקטורים בכל בסיס של המרחב הוא 3. נראה כעת מספר דוגמאות לבסיסים של המרחב.

[עריכה] דוגמאות

הוקטורים (1,0,0) , (0,1,0) ו(0,0,1) הם בסיס למרחב, בסיס זה גם נקרא הבסיס הסטנדרטי.
הוקטורים (4-,1,0) , (0,2,1) ו(7,1,0) הם גם דוגמה לבסיס למרחב.

אתגר:

נסו להראות שהבסיסים האלו הם אכן בסיסים ושאכן ניתן להביע כל וקטור במרחב בעזרתם. טיפ: קחו וקטור כללי במרחב (x,y,z) ותראו כיצד ניתן להביע אותו כקומבינציה ליניארית של כל אחד מהבסיסים למעלה.

מתמטיקה תיכונית/וקטורים/קומבינציות ליניאריות ותלות בין וקטורים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] קומבינציות ליניאריות

[עריכה] תלות ליניארית

[עריכה] בסיס

[עריכה] הקדמה

[עריכה] בסיס למישור

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] בסיס למרחב

[עריכה] דוגמאות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא