מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

שימו לב: החומר בפרק זה הוא לא חובה לבגרות במתמטיקה והוא שימושי בעיקר לתלמידי המגמה הפיזקלית שצריכים לעשות שימוש בוקטורים בפתירת תרגילים.

תוכן עניינים 1 ייצוג וקטורים 2 משפט פיתגורס 3 פירוק לרכיבים 3.1 פירוק בציר הx 3.2 פירוק בציר הy

[עריכה] ייצוג וקטורים

ניתן לייצג וקטור בשתי צורות עיקריות:

1. על ידי הצגת הגדלים של רכיבי הוקטור בכל אחד מהצירים
2. על ידי הצגת גודל הוקטור וכיוונו

דוגמא:

ניקח דוגמא פשוטה של וקטור בשני מימדים. נסמן את המימדים בשני צירים - ציר X וציר Y. אנו יכולים לתאר את הוקטור הזה על ידי ציון רכיבי ה-X וה-Y שלו. לחליפין, אנו יכולים לתאר אותו על ידי ציון הגודל הכולל שלו והזוית שלו ביחס לחלק החיובי של ציר ה-X.

במקרים רבים נעדיף שיטת ייצוג אחת על פני האחרת משיקולים של פישוט החישובים. לעיתים אנו נדרשים לעבור מצורת ייצוג אחת לשניה.

[עריכה] משפט פיתגורס

נערוך חזרה קצרה על ההגדרות במשולש ישר זוות. כל ההגדרות והמשפטים מבוססים על התמונה משמאל.

ניצב 

אחת הצלעות במשולש ישר זווית שיוצרת זווית של 90 מעלות (בתמונה, הניצבים במשולש ABC הם AC וAB).

יתר 

הצלע (היחידה) במשולש ישר זוווית שנמצאת "ממול" לזווית הישרה (בתמונה, הצלע BC היא היתר במשולש ABC).

פונקציית הסינוס sin 

מקבלת זווית (במעלות או ברדיאנים) בתוך משולש ישר זווית, ומחזירה את היחס בין הניצב שמול הזווית, ליתר.(בתמונה, )

פונקציית הקוסינוס cos 

מקבלת זווית (במעלות או ברדיאנים) בתוך משולש ישר זווית ומחזירה את היחס בין הניצב שליד הזווית, ליתר (בתמונה, )

להלן דרכים קלות לזכור את המשמעויות של הפונקציות sin וcos :
sin - היחס בין הצלע הרחוקה (ניזכור זאת כ'סין' = ארץ רחוקה, סין = צלע רחוקה) ליתר. כלומר מבצעים חילוק בין הצלע הרחוקה מהזווית, ליתר ומבטאים זאת כ:סינוס הזווית.

נניח ויש לנו משולש שבו אחת הצלעות היא 30 ס"מ והיתר הוא 50 ס"מ. מהו סינוס הזווית שמול ה-30 ? תשובה: 30 חלקי 50 (30/50) או 0.6.

cos- היחס בין הצלע הקרובה ליתר כלומר מבצעים חילוק בין הצלע הקרובה ליתר ומבטאים זאת כ:קוסינוס הזווית.

נניח ויש לנו את אותו משולש ניתן לראות על-פי בנייתו כי היחס של אותה זווית הוא 40/50 או 0.8.

משפט 1: משפט פיתגורס במשולש ישר זווית ABC מתקיים: AB2 + AC2 = BC2. כלומר, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

אם ידוע לנו שאחת הצלעות היא 50 והשנייה 30 אז הניצב (או גם אפשר להגיד "אנך") האחר הוא 40. כי (50 בחזקת 2) = (40 בחזקת 2) + (30 בחזקת 2).

למשל: אם ברצוננו לחשב את הכוח שמופעל על גוף מסוים חסר מסה ששווה ל-30 וכיוונו כ-20 מעלות מעל להיטלו (כלומר, מעל לציר הx) ואנו רוצים לדעת מה רכיבי ה-x וה-y? נעשה זאת כך:

30sin30 - ציר ה-y.

30cos30 - ציר ה-x. מכאן: גודל רכיב ה-y הינו 15 גודל רכיב ה-x הינו בערך 25.98.

כדאי לדעת: אם בדקתם במחשבון תגלו שלעיתים מגיעים למספרים בעלי רצף עשרוני ארוך (הרבה ספרות אחרי הנקודה העשרונית) ולכן נהוג לעגל אותם ל3 או 2 ספרות אחרי הנקודה. אם היינו צריכים לכתוב את ציר ה-x כ:25.98076211 החישובים היו ארוכים ומסורבלים ולא אסתטיים לעין וכידוע מתמטיקה היא שפה השואפת לאסתטיות.

[עריכה] פירוק לרכיבים

כאשר נתון לנו הגודל והכיוון של וקטור, ואנו רוצים למצוא את רכיביו, אנו צריכים לפרק את הוקטור לרכיבים. הרעיון המרכזי מאחורי פירוק וקטור לרכיבים הוא מציאת ההיטל של הוקטור על כל אחד מהצירים.

בניתוח הבא, נניח שנתון לנו הגודל והכיוון של הוקטור ונניח שמוצאו בראשית הצירים (אם לא, תמיד נוכל להזיז אותו לשם). הכיוון בדרך כלל ניתן על ידי ציון הזווית שהוקטור יוצר עם ציר הx, נכנה את הזווית הזו α ונסמן את גודל הוקטור פשוט כF.

[עריכה] פירוק בציר הx

נוריד אנך מסוף הוקטור אל ציר הx. נוצר לנו משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא הוקטור F. קל לראות, שההיטל בציר הx הוא הניצב במשולש שנמצא ליד הזווית α . לכן נשתמש בהגדרת פונקציית הקוסינוס:

נבודד את F_x (הייטל בציר הx) ונקבל,

F_x = Fcosα

[עריכה] פירוק בציר הy

האנך שהורדנו אל ציר הx, מקביל ושווה להיטל של הוקטור F על ציר הy. האנך נמצא מול הזווית α לגן נשתמש בהגדרת פונקציית הסינוס:

שוב, נבודד את F_y (ההיטל בציר הy) ונקבל:

F_y = Fsinα

ובכך קיבלנו את הייצוג האלגברי של הוקטור F.

כדאי לדעת: השיטה הנ"ל שימושית ביותר בפתרון של בעיית כוחות על גוף נקודתי בפיזיקה. כאשר נתונים לנו מספר כוחות שפועלים על גוף ועלינו למצוא את שקול הכוחות ניתן לפרק כל אחד מהכוחות לפי הרכיבים שלהם ולחבר אותם רכיב רכיב כדי לקבל ייצוג אלגברי של השקול.