מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/וקטורים שראשיתם בנקודה אחת וסופם על מישור
מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.
גם הפרק הזה הוא קצר ונועד בעיקר כהקדמה לפני שמתחילים את לעבוד על הצגות פרמטריות. באופן כללי, החומר בפרק הזה הינו יחסית שולי ואם קרה ולא הבנתם את הטענה ניתן בקלות לחזור עליו לקראת ההכנה לבחינה.
כפי שלמדנו על התכונות המעניינות שיש לשלושה וקטורים שמוצאם בנקודה משותפת והם מסתיימים על ישר, בפרק זה נלמד על התכונות המעניינות שיש לארבעה וקטורים בעלי ראשית משותפת ושהם מסתיימים על מישור.
[עריכה] הטענה
בלי הסברים מיותרים נגיע לטענה המרכזית של הפרק:
|
טענה 1 ארבעה וקטורים בעלי ראשית משותפת ושמסתיימים על מישור בהינתן חמש נקודות A,B,C,D וO (הנקודה O היא לא בהכרח הראשית). אם הוקטורים
|
מסתיימים על אותו המישור, אז מתקיים:[עריכה] הוכחה
 |
שקול לדלג על נושא זה מומלץ לשקול לדלג על נושא זה בפעם הראשונה בה נתקלים בו, ולחזור אליו רק לאחר מעבר כללי על כל הספר. |
הוכחה: הוקטורים 
הם בלתי תלויים, לכן ניתן לרשום
עבור r , s וt מספרים ממשיים כלשהם.
כיוון ש A,B,C וD על אותו המישור ניתן לרשום:
מחיבור וחיסור של וקטורים ידוע לנו שניתן לרשום את המשוואה למעלה כ:
נחליף את הוקטור OD בקומבינציה ליניארית של הוקטורים האחרים, כפי שרשום למעלה, ונקבל:
נצרף ביטויים זהים ונעביר אגפים ונקבל:
כיוון שהוקטורים הם בלתי תלויים, מקבלים את שלושת המשוואות:
פתירה של שלושת המשוואות מובילה לתוצאה s+t+r=1.
 |
אתגר: אל תיקחו את המילה שלנו בנוגע לזה. בידקו בעצמכם! הראו שמשלושת המשואות ניתן להגיע ל s+t+r=1. |
